求数列通项公式的十种方法.docx

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1．观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）

即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。

例1.设，，若，求及数列的通项公式．

解：

由题意可知：

，

，

.

因此猜想.

下面用数学归纳法证明上式．

（1）当n＝1时，结论显然成立．

（2）假设当n＝k时结论成立，即.

（3）则，

即当n＝k＋1时结论也成立．

由

（1）、

（2）可知，对于一切正整数，都有．（最后一句总结很重要）

2．定义法（已知数列为等差或者等比）

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例2.已知等差数列满足，，求的通项公式。

解：

设等差数列的公差为.

因为，所以.

又因为，所以，故.

所以.

3．公式法

若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

（一定要讨论n=1，n≥2）

　例3.设数列的前项和为，已知

（Ⅰ）求数列的通项公式。

解：

（Ⅰ）由

可得：

当时，，

当时，

而，

所以

4．累加法

当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为。

例4.数列满足，且（），则数列{an}的前10项和为

解：

由题意得：

5．累乘法

当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例5.已知数列满足，求的通项公式。

　　解：

由条件知，

在上式中分别令，得个等式累乘之，

即，即

又

6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握

1、当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例题：

已知数列满足，求的通项公式。

解：

由

得

又

所以是首项为，公比为的等比数列

所以

因此数列的通项公式为.

2、当递推公式为时，通常解法是把原递推公式转化为，其中的值由方程给出。

（了解即可，不必掌握）

例题：

在数列中，=2，=，求数列的通项。

解：

由

得

又

所以数列是首项为，公比为的等比数列

所以，即.

3、当递推公式为（其中均为常数，且）时，通常解法是把原递推公式转化为。

①若，则，此时数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。

②若，则可化为形式求解。

（了解即可，不必掌握）

例题：

已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。

解：

由

得

所以数列是首项为=，的等比数列

所以=，即=

4、当递推公式为（为常数，且）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为。

①若，则是以为首项，以为公差的等差数列，则，即。

②若，则可转化为（其中）形式求解。

例10.已知数列{}满足，且（），求数列{}的通项公式。

解：

原式可变形为

两边同除以得……⑴

构造新数列，使其成为公比的等比数列

即

整理得满足⑴式使∴

∴数列是首项为，q=的等比数列

∴∴。

5、当递推公式为（均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式转化为-＝（-）.其中、由解出，由此可得到数列｛-｝是等比数列。

例题：

设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．证明：

为等比数列；

证明：

因为

所以

即

因为

所以

因为

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列。