对勾函数讲解与例题解析.doc

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对勾函数

对勾函数:

数学中一种常见而又特殊的函数。

如图

一、对勾函数f（x）=ax+的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

（一）对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f（x）=ax+（接下来写作f（x）=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f（x）=ax+b/x是正比例函数f（x）=ax与反比例函数f（x）=b/x“叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f（x）=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：

a>0b>0a<0b<0

对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f（x）=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：

他是如何叠加而成的。

）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

（二）对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

（三）对勾函数的定义域、值域

由

（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

y

X

O

y=ax

（四）对勾函数的单调性

（五）对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

（六）对勾函数的奇偶性：

对勾函数在定义域内是奇函数，

二、均值不等式（基本不等式）

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道，（a-b）^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b）^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：

a+b≥2sqrt（ab）。

把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt（axb/x）=2sqrt（ab），这里有个规定：

当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt（b/a），对应的f（x）=2sqrt（ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：

（a+b）/2≥sqrt（ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？

也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数最小值的解法

1.均值不等式

，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。

当的时候，

2.法

若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）

找到使时，存在相应的即可。

通过观察当的时候，

3.单调性定义

设

当对于任意的，只有时，，此时单调递增；

当对于任意的，只有时，，此时单调递减。

当取到最小值，

4.复合函数的单调性

在单调递增，在单调递减；在单调递增

又原函数在上单调递减；在上单调递增

即当取到最小值，

四、例题解析：

例1、已知函数 ，

练习：

2.已知函数,求f（x）的最小值,并求此时的x值.

五、重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是：

f（x）=ax+b/x（a>0）

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a

当x<0，有x=-根号a，有最大值是：

－2根号a

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1

下面分情况讨论

⑴当x10,x1x2>0，所以f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

⑵当-根号a0，所以f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当00，所以f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当根号a0,x1x2>0，所以f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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