求数列通项公式的十种方法.doc
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求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)
总述:
一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学归纳法、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。
四种基本数列:
等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:
累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三.求数列通项的方法的基本思路是:
把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
四.求数列通项的基本方法是:
累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1.适用于:
----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若,
则
两边分别相加得
例1已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由得则
所以数列的通项公式为。
例2已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一:
由得则
所以
解法二:
两边除以,得,
则,故
因此,
则
练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式.答案:
练习2.已知数列满足,,求此数列的通项公式.答案:
裂项求和
评注:
已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.
解:
由已知得,
化简有,由类型
(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.○。
------------ 适用于:
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若,则
两边分别相乘得,
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=________.
解:
已知等式可化为:
()(n+1),即
时,
==.
评注:
本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案:
-1.
评注:
本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:
设,
得,与题设比较系数得
所以所以有:
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以即:
.
规律:
将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法(阶差法):
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型
(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列中,,求数列的通项公式。
解法一:
又是首项为2,公比为2的等比数列
,即
解法二:
两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……
练习.已知数列中,求通项。
答案:
2.形如:
(其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:
,累加即可.
②若时,即:
,
求通项方法有以下三种方向:
i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即:
令,则,然后类型1,累加求通项.
ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
即:
令,则可化为.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:
目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.
注意:
应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一(待定系数法):
设,比较系数得,
则数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,即
解法二(两边同除以):
两边同时除以得:
,下面解法略
解法三(两边同除以):
两边同时除以得:
,下面解法略
练习.(2003天津理)
设为常数,且.证明对任意≥1,;
3.形如(其中k,b是常数,且)
方法1:
逐项相减法(阶差法)
方法2:
待定系数法
通过凑配可转化为;
解题基本步骤:
1、确定=kn+b
2、设等比数列,公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例8在数列中,求通项.(逐项相减法)
解:
,①
时,,
两式相减得.令,则
利用类型5的方法知即②
再由累加法可得.亦可联立①②解出.
例9.在数列中,,求通项.(待定系数法)
解:
原递推式可化为
比较系数可得:
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列,首项,公比为.即:
故.
4.形如(其中a,b,c是常数,且)
基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
例10已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设
比较系数得,
所以
由,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
5.形如时将作为求解
分析:
原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。
例11已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设
比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)
则,则是首项为4,公比为3的等比数列
,所以
练习.数列中,若,且满足,求.
答案:
.
四、迭代法(其中p,r为常数)型
例12已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
因为,所以
又,所以数列的通项公式为。
注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.(2005江西卷)
已知数列,
(1)证明
(2)求数列的通项公式an.
解:
(1)略
(2)所以
又bn=-1,所以.
方法2:
本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:
设c,则c,转化为上面类型
(1)来解
五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0,
例14.设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.
解:
两边取对数得:
,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴
练习数列中,,(n≥2),求数列的通项公式.
答案:
例15已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
因为,所以。
两边取常用对数得
设 (同类型四)
比较系数得,
由,得,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。
六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例16已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
求倒数得为等差数列,首项,公差为,
七、换元法适用于含根式的递推关系
例17已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,则
代入得
即
因为,
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。
例18已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由及,得
由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
九、阶差法(逐项相减法)
1、递推公式中既有,又有
分析:
把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
例19已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。
解:
∵对任意有⑴
∴当n=1时,,解得或
当n≥2时,⑵
⑴-⑵整理得:
∵各项均为正数,∴
当时,,此时成立
当时,,此时不成立,故舍去
所以
练习。
已知数列中,且,求数列的通项公式.
答案:
2、对无穷递推数列
例20已知数列满足,求的通项公式。
解:
因为 ①
所以 ②
用②式-①式得
则故
所以 ③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
十、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法
不动点的定义:
函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析:
由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。
类型一:
形如
例21已知数列中,,求数列的通项公式。
解:
递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1
∴,……
类型二:
形如
分析:
递归函数为
(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,∴
(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。
例22.设数列满足,求数列的通项公式.
分析:
此类问题常用参数法化等比数列求解.
解:
对等式两端同时加参数t,得:
令,解之得t=1,-2代入得
,
相除得,即{}是首项为,
公比为的等比数列,=,解得.
方法2:
,
两边取倒数得,
令b,则b,转化为累加法来求.
例23已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,得,则是函数的两个不动点。
因为
。
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。
练习1:
已知满足,求的通项
答案:
练习2。
已知数列满足,求数列的通项
答案:
练习3.(2009陕西卷文)
已知数列满足,.
令,证明:
是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式。
答案:
(1)是以1为首项,为公比的等比数列。
(2)。
十一。
特征方程法形如是常数)的数列
形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为…①
若①有二异根,则可令是待定常数)
若①有二重根,则可令是待定常数)
再利用可求得,进而求得
例24已知数列满足,求数列的通项
解:
其特征方程为,解得,令,
由,得,
例25已知数列满足,求数列的通项
解:
其特征方程为,解得,令,
由,得,
练习1.已知数列满足,求数列的通项
练习2.已知数列满足
,求数列的通项
说明:
(1)若方程有两不同的解s,t,
则,,
由等比数列性质可得,,
由上两式消去可得.
(2)若方程有两相等的解,则
,
即是等差数列,
由等差数列性质可知,
所以.
例26、数列满足,且求数列的通项。
解:
……①
令,解得,将它们代回①得,
……②,……③,
③÷②,得,
则,∴数列成等比数列,首项为1,公比q=2
所以,则,
十二、四种基本数列
1.形如型等差数列的广义形式,见累加法。
2.形如型等比数列的广义形式,见累乘法。
3.形如型
(1)若(d为常数),则数列{}为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;
(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,,分奇偶项来分求通项.
例27.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
分析1:
构造转化为型
解法1:
令
则.
时,各式相加:
当n为偶数时,.此时当n为奇数时,
此时,所以.故解法2:
时,,两式相减得:
.
构成以,为首项,以2为公差的等差数列;
构成以,为首项,以2为公差的等差数列
.
评注:
结果要还原成n的表达式.
例28.(2005江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足
Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.
解:
方法一:
因为
以下同上例,略
答案
4.形如型
(1)若(p为常数),则数列{}为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;
(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得,两式相除后,分奇偶项来分求通项.
例29.已知数列,求此数列的通项公式.
注:
同上例类似,略.
5.形如型
(1)若是常数,同题型1.
(2)若是一次式同题型1
(3)若是二次式。
例1.(2006年陕西理20)已知正项数列,其前n项和S满足成等比数列,且10S=,求数列的通项公式.
解:
∵10S=①
∴
又10S=
(2),②
①-②,得,
即.
∵∴.
当.此时不成等比数列,∴.
当.此时有.∴.
∴.
评注:
该题用即的关系,.
消去,也可用的方法求出.
例2.(2007年重庆理科21)已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,并记为的前项和,
求证:
.
解:
(I)解由,解得或,
由假设,因此,
又由,
得,即或,
因,故不成立,舍去.
因此,从而是公差为,首项为的等差数列,
故的通项为.
(II)证法一:
由可解得;
从而.
因此.
令,
则.
因,故.
特别地,从而.
即.
证法二:
同证法一求得及,
由二项式定理知,当时,不等式成立.
由此不等式有
证法三:
同证法一求得及.
令,.
因.
因此.
从而
.
证法四:
同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明:
.
当时,,,
因此,结论成立.
假设结论当时成立,即.
则当时,
;
因.故.
从而.这就是说,当时结论也成立.
综上对任何成立.
例3.(2008年全国理科2)设函数.数列满足,.
(Ⅰ)证明:
函数在区间是增函数;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)设,整数.证明:
.
解:
(Ⅰ)证明:
,
故函数在区间(0,1)上是增函数.
(Ⅱ)证明:
(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,
.
由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;
(ⅱ)假设当时,成立,即
那么当时,由在区间是增函数,得:
.而,则,
,也就是说当时,也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
(Ⅲ)证明:
由.可得:
.
1、若存在某满足,则.
2、若对任意都有,则:
成立.
例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.
解:
由已知得,
化简有,由类型
(1)有,
又得,所以,又,,
则.
6.形如型
例1.(2008年湖南理科)(本小题满分12分)
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设证明:
当
解(Ⅰ)因为
一般地,当时,
=,即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此
当时,
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①
②
①-②得,
所以
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
证法一
(1)当n=6时,成立.
(2)假设当时不等式成立,即
则当n=k+1时,
由
(1)、
(2)所述,当6时,,即当6时,
证法二
令,则
所以当时,.因此当时,.
于是当时,.综上所述,当时,.
7.形如型
例1.(2008年重庆理科22)设各项均为正数的数列{}满足.
(Ⅰ)若,求,并猜想的值(不需证明);
(Ⅱ)记对2恒成立,求的值及数列{bn}的通项公式.
解:
(Ⅰ)因 ,
由此有,
故猜想的通项为.∴
(Ⅱ)令.
由题设知x1=1且, ①
②
因②式对n=2成立,有 ③
下面用反证法证明:
由①得.
因此数列是首项为,公比为的等比数列.故
④
又由①知
因此是是首项为,公比为-2的等比数列,所以
⑤
由④-⑤得⑥
对n求和得⑦
由题设知
即不等式22k+1<,对恒成立.但这是不可能的,矛盾.
因此x2,结合③式知2=,
因此代入⑦式得Sn=2-(),
所以bn==()
8.形如=0型
例1.(2008年天津理科22)在数列与中,,数列的前项和满足,为与的等比中项,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列与的通项公式;
(Ⅲ)设.证明.
本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分
解:
(Ⅰ)由题设有,,解得.由题设又有,,解得.
(Ⅱ)解法一:
由题设,,,及,,进一步可得,,,,
猜想,,.
先证,.
当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:
(1当时,,等式成立.
(2)假设时等式成立,即,.
由题设,
①的两边分别减去②的两边,整理得,从而
.
这就是说,当时等式也成立.根据
(1)和
(2)可知,等式对任何的成立.
综上所述,等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明,.
(1)当时,,等式成立.
(2)假设当时等式成立,即,那么.
这就是说,当时等式也成立.根据
(1)和
(2)可知,等式
对任何的都成立.
解法二:
由题设
①的两边分别减去②的两边,整理得,.所以
, ,…… ,.
将以上各式左右两端分别相乘,得,
由(Ⅰ)并化简得,.
止式对也成立.
由题设有,所以,
即,.
令,则,即.
由得,.所以,即,.
解法三:
由题设有,,
所以,,……,.
将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得
,.
由(Ⅰ),上式对也成立.所以,.
上式对时也成立.
以下同解法二,可得,.
(Ⅲ)证明:
.
当,时,
.
注意到,
.
当,时,
当,时,
.
当,时,
.
所以.
从而时,有
总之,当时有,即.