北京市海淀区高三一模数学理试题Word版带答案.doc
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科）2011.4
选择题（共40分）
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1、已知集合，，则
A.B.
C.D.R
2．已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则
A．10B．16C．20D．24
3.在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是
A． B．
C． D．
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为23，则输入的值为
A．B．1C．D．11
5．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中
错误的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6.已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为
A．B．C． D．
7.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为
A．B．C．3D.4
8．已知抛物线：
，圆：
（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是
A．B．C．D．
非选择题（共110分）
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．复数.
10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为.（用“”连接）
11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交点.若，则______；若，，
则.
12.已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________.
13.若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：
① ②③ ④
与直线一定有公共点的曲线的序号是.（写出你认为正确的所有序号）
14．如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为；的零点是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.（本小题共13分）
在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积.
16.（本小题共14分）
在如图的多面体中，⊥平面，,，，
，，，
是的中点．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
17.（本小题共13分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
（Ⅰ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；
（Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
18.（本小题共13分）
已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
（Ⅲ）若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.
19.（本小题共14分）
已知椭圆经过点其离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.
20.（本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列：
，其中等于的项有个，
设，.
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理）
答案及评分参考2011．4
选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
B
B
D
非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.10.>>11.；3
12.13.①③14.
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
15.（共13分）
解：
（I）因为，,,…………………1分
代入得到，.…………………3分
因为,…………………4分
所以.…………………5分
（II）因为，由（I）结论可得：
.…………………7分
因为，所以.…………8分
所以.…………9分
由得，…………………11分
所以的面积为：
.………………13分
16.（共14分）
解：
（Ⅰ）证明：
∵，
∴.
又∵,是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴.……………2分
∵平面，平面，
∴平面.…………………4分
（Ⅱ）解法1
证明：
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面.………………………5分
过作交于，则平面.
∵平面，∴.………………………6分
∵，∴四边形平行四边形，
∴，
∴，又，
∴四边形为正方形，
∴，………………………7分
又平面，平面,
∴⊥平面.………………………8分
∵平面,
∴.………………………9分
解法2
∵平面，平面，平面，∴，，
又,
∴两两垂直.……………………5分
以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.
由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），
（2，2，0）.…………………………6分
∴，，………7分
∴,………8分
∴.…………………………9分
（Ⅲ）由已知得是平面的法向量.…………………………10分
设平面的法向量为，∵，
∴，即，令,得.…………………………12分
设二面角的大小为，
则，…………………………13分
∴二面角的余弦值为…………………………14分
17.（共13分）
解：
（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为…………………………1分
事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”……………2分
…………………………4分
（Ⅱ）由题可知可能取值为0,1,2,3.
,
.………………8分
0
1
2
3
………………9分
（Ⅲ）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为……………10分
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，.……………13分
18.（共13分）
解：
（Ⅰ）的定义域为，………………………1分
当时，，，………………………2分
1
—
0
+
极小
………………………3分
所以在处取得极小值1.………………………4分
（Ⅱ），
………………………6分
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；………………………7分
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增.………………………8分
（III）在上存在一点，使得成立，即
在上存在一点，使得，即
函数在上的最小值小于零.………………………9分
由（Ⅱ）可知
①即，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
因为，所以；………………………10分
②当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得；………………………11分
③当，即时，可得最小值为，
因为，所以，
故
此时，不成立.………………………12分
综上讨论可得所求的范围是：
或.………………………13分
19.（共14分）
解：
（Ⅰ）由已知可得，所以①……………1分
又点在椭圆上，所以②……………2分
由①②解之，得.
故椭圆的方程为.……………5分
（Ⅱ）当时，在椭圆上，解得，所以.……6分
当时，则由
消化简整理得：
，
③……………8分
设点的坐标分别为，则
.……………9分
由于点在椭圆上，所以.……………10分
从而，化简得，经检验满足③式.………11分
又
………………………12分
因为，得，有，
故.………………………13分
综上，所求的取值范围是.………………………14分
（Ⅱ）另解：
设点的坐标分别为，
由在椭圆上，可得………………………6分
①—②整理得………………………7分
由已知可得，所以……………………8分
由已知当,即⑥………………………9分
把④⑤⑥代入③整理得………………………10分
与联立消整理得……………………11分
由得，
所以……………………12分
因为，得，有，
故.………………………13分
所求的取值范围是.………………………14分
20.（共13分）
解：
（1）根据题设中有关字母的定义，
（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，
故，即①…………………7分
另一方面，设整数，则当时必有，
所以
所以的最小值为.…………………9分
下面计算的值：
…………………12分
∵，∴
∴最小值为.…………………13分
说明：
其它正确解法按相应步骤给分.
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