数学必修2第四章知识点+单元测试(含答案).doc

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高中数学必修2圆与方程

知识点总结+习题（含答案）

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：

圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程

2、点与圆的关系的判断方法：

（1）>，点在圆外

（2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

4.1.2圆的一般方程

1、圆的一般方程：

2、圆的一般方程的特点：

（1）①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线：

，圆：

，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，直线与圆相离；

（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相交；

4.2.2圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；

（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；

4.2.3直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：

建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：

通过代数运算，解决代数问题；

第三步：

将代数运算结果“翻译”成几何结论．

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标

2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点到点之间的距离公式

第四章测试

（时间：

120分钟　总分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是（　　）

A．相离　　　　B．相交C．外切 D．内切

2．过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（　　）

A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0

C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0

3．若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（　　）

A．1，－1 B．2，－2

C．1 D．－1

4．经过圆x2＋y2＝10上一点M（2，）的切线方程是（　　）

A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0

C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0

5．点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（　　）

A．（－3,3，－1） B．（－3，－3，－1）

C．（3，－3，－1） D．（3,3,1）

6．若点A是点B（1,2,3）关于x轴对称的点，点C是点D（2，－2,5）关于y轴对称的点，则|AC|＝（　　）

A．5B.C．10 D.

7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为坐标原点），则k的值为（　　）

A.B.C.或－ D.和－

8．与圆O1：

x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：

x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是（　　）

A．4B．3C．2 D．1

9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是（　　）

A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0

C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0

10．圆x2＋y2－（4m＋2）x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为（　　）

A.9πB.πC．2πD．由m的值而定

11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q（3,0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（　　）

A．（x＋3）2＋y2＝4 B．（x－3）2＋y2＝1

C．（2x－3）2＋4y2＝1 D．（2x＋3）2＋4y2＝1

12．曲线y＝1＋与直线y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

A．（0，） B．（，＋∞）

C．（，] D．（，]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上）

13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．

14．圆心为（1,1）且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．

15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．

16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）自A（4,0）引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．

18．（12分）已知圆M：

x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：

x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．

19．（12分）已知圆C1：

x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：

x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．

20．（12分）已知圆C：

x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

21．（12分）已知⊙C：

（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（－1,0），B（1,0），点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．

22．（12分）已知曲线C：

x2＋y2＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.

（1）求证：

曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；

（2）证明曲线C过定点；

（3）若曲线C与x轴相切，求k的值．

1解析：

将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，

化为标准方程得（x－3）2＋（y－4）2＝16.

∴两圆的圆心距＝5，

又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：

C

2解析：

依题意知，所求直线通过圆心（1，－2），由直线的两点式方程得＝，即3x－y－5＝0.答案：

A

3解析：

圆x2＋y2－2x＝0的圆心C（1,0），半径为1，依题意得＝1，即|a＋2|＝，平方整理得a＝－1.答案：

D

4解析：

∵点M（2，）在圆x2＋y2＝10上，kOM＝，

∴过点M的切线的斜率为k＝－，

故切线方程为y－＝－（x－2），

即2x＋y－10＝0.答案：

D

5解析：

点M（3，－3,1）关于xOz平面的对称点是（3,3,1）．答案：

D

6解析：

依题意得点A（1，－2，－3），C（－2，－2，－5）．

∴|AC|＝＝.答案：

B

7解析：

由题意知，圆心O（0,0）到直线y＝kx＋1的距离为，

∴＝，∴k＝±.答案：

C

8解析：

两圆的方程配方得，O1：

（x＋2）2＋（y－2）2＝1，

O2：

（x－2）2＋（y－5）2＝16，

圆心O1（－2,2），O2（2,5），半径r1＝1，r2＝4，

∴|O1O2|＝＝5，r1＋r2＝5.

∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：

B

9解析：

依题意知，直线l过圆心（1,2），斜率k＝2，

∴l的方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.答案：

A

10解析：

∵x2＋y2－（4m＋2）x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，

∴[x－（2m＋1）]2＋（y－m）2＝m2.

∴圆心（2m＋1，m），半径r＝|m|.

依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.

∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：

B

11解析：

设P（x1，y1），Q（3,0），设线段PQ中点M的坐标为（x，y），

则x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.

又点P（x1，y1）在圆x2＋y2＝1上，

∴（2x－3）2＋4y2＝1.

故线段PQ中点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2＝1.答案：

C

12解析：

如图所示，曲线y＝1＋

变形为x2＋（y－1）2＝4（y≥1），

直线y＝k（x－2）＋4过定点（2,4），

当直线l与半圆相切时，有

＝2，解得k＝.

当直线l过点（－2,1）时，k＝.

因此，k的取值范围是

D

13解析：

圆心（0,0）到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，

∴所求的最小值为4.

14解析：

r＝＝，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

15解析：

已知方程配方得，（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0），圆心坐标为（－a，a），它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．

16解析：

由x2＋y2－6x－2y－15＝0，

得（x－3）2＋（y－1）2＝25.

圆心（3,1）到直线x＋2y＝0的距离d＝＝.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×＝4.

17解：

解法1：

连接OP，则OP⊥BC，设P（x，y），当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1，

即x2＋y2－4x＝0①

当x＝0时，P点坐标为（0,0）是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内）．

解法2：

由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2,0），|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M（2,0）为圆心，2为半径的圆．

故所求的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4（在已知圆内）．

18解：

由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M（m，－2），N（－1，－1）．

两圆的方程相减得直线AB的方程为

2（m＋1）x－2y－m2－1＝0.

∵A，B两点平分圆N的圆周，

∴AB为圆N的直径，∴AB过点N（－1，－1），

∴2（m＋1）×（－1）－2×（－1）－m2－1＝0，

解得m＝－1.

故圆M的圆心M（－1，－2）．

19解：

设两圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点的坐标是方程组的解，两方程相减得：

x＋y－3＝0，

∵A、B两点的坐标都满足该方程，

∴x＋y－3＝0为所求．

将圆C2的方程化为标准形式，

（x－1）2＋（y－1）2＝2，

∴圆心C2（1,1），半径r＝.

圆心C2到直线AB的距离d＝＝，

|AB|＝2＝2＝.

即两圆的公共弦长为.

20解：

如图：

PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.

设P（x，y），C（－1,2），|MC|＝.

∵|PM|＝|PO|，

∴x2＋y2＝（x＋1）2＋（y－2）2－2，

化简得点P的轨迹方程为：

2x－4y＋3＝0.

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为.

21解：

设点P的坐标为（x0，y0），则

d＝（x0＋1）2＋y02＋（x0－1）2＋y02＝2（x02＋y02）＋2.

欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．

作直线OC，设其交⊙C于P1（x1，y1），P2（x2，y2），

如图所示．

则u最小值＝|OP1|2＝（|OC|－|P1C|）2＝（5－1）2＝16.

此时，＝＝，

∴x1＝，y1＝.

∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为.

同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为.

22解：

（1）证明：

原方程可化为（x＋k）2＋（y＋2k＋5）2＝5（k＋1）2

∵k≠－1，∴5（k＋1）2>0.

故方程表示圆心为（－k，－2k－5），半径为|k＋1|的圆．

设圆心的坐标为（x，y），则

消去k，得2x－y－5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．

（2）证明：

将原方程变形为

（2x＋4y＋10）k＋（x2＋y2＋10y＋20）＝0，

∵上式对于任意k≠－1恒成立，

∴

解得

∴曲线C过定点（1，－3）．

（3）∵圆C与x轴相切，

∴圆心（－k，－2k－5）到x轴的距离等于半径，

即|－2k－5|＝|k＋1|.

两边平方，得（2k＋5）2＝5（k＋1）2，

∴k＝5±3.

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