高中数学必修五数列测试题.doc

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必修五阶段测试二（第二章　数列）

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（2017·山西朔州期末）在等比数列{an}中，公比q＝－2，且a3a7＝4a4，则a8等于（　　）

A．16B．32C．－16D．－32

2．已知数列{an}的通项公式an＝则a2·a3等于（　　）

A．8B．20C．28D．30

3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a3＝b3，2b3－b2b4＝0，则数列{an}的前5项和S5为（　　）

A．5B．10C．20D．40

4．（2017·山西忻州一中期末）在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是（　　）

A．102B.C.D．108

5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为（　　）

A．81B．120C．168D．192

6．等差数列{an}中，a10<0,a11>0,且a11>|a10|,Sn是前n项的和，则（　　）

A．S1,S2,S3,…，S10都小于零，S11，S12，S13，…都大于零

B．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零

C．S1，S2，…，S5都大于零，S6，S7，…都小于零

D．S1，S2，…，S20都大于零，S21，S22，…都小于零

7．（2017·桐城八中月考）已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R），且S25＝100，则a12＋a14等于（　　）

A．16B．8C．4D．不确定

8．（2017·莆田六中期末）设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是（　　）

A．d<0B．a7＝0

C．S9>S5D．S6和S7均为Sn的最大值

9．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是前n项和，则（　　）

A．S4＜S5B．S6＜S5C．S4＝S5D．S6＝S5

10．（2017·西安庆安中学月考）数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝（n∈N*，n≥2），则a6等于（　　）

A.B.C.D．7

11．（2017·安徽蚌埠二中期中）设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（　　）

A．25B．50C．75D．100

12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋3n（n∈N＋），数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的前64项和为（　　）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．等差数列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值为________．

14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．

15．（2017·广东实验中学）若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝________.

16．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）

（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an；

（2）已知数列的前n项和Sn＝2n2＋n，求数列的通项公式．

18.（12分）（2016·全国卷Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

19．（12分）（2017·唐山一中期末）已知等差数列{an}满足：

a2＝5，前4项和S4＝28.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.

20.（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1（n∈N*）．

（1）当t为何值时，数列{an}是等比数列；

（2）在

（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

21．（12分）等差数列{an}的各项都是整数，首项a1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．

（1）求公差d；

（2）设Sn为其前n项和，求使Sn最大的项数n及相应的最大值Sn.

22.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足：

b1＝－1，bn＋1＝bn＋（2n－1）（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）求数列{bn}的通项公式bn；

（3）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

答案与解析

1．A　在等比数列{an}中，∵a3a7＝a4a6＝4a4，

∴a6＝4，∴a8＝a6q2＝4×（－2）2＝16.故选A.

2．B　由已知得a2·a3＝（2×2－2）（3×3＋1）＝20.

3．B　由2b3－b2b4＝0，

得2b3＝b，∴b3＝2，∴a3＝2，

故S5＝＝5a3＝10，故选B.

4．D　将an＝－2n2＋29n＋3看作一个二次函数，

但n∈N*，对称轴n＝开口向下，

∴当n＝7时离对称轴最近，∴an的最小值为a7＝108，故选D.

5．B　设等比数列的公比为q，

∴a5＝a2·q3，

∴243＝9×q3，∴q＝3.

∴a1＝＝3.

S4＝＝120，故选B.

6．B　∵a10<0,∴a1＋9d<0.

∵a11>0,∴a1＋10d>0.

又a11>|a10|,∴a1＋10d>－a1－9d.

∴2a1＋19d>0.

∴S19＝19a1＋d＝19（a1＋9d）<0.

排除A、D.

S20＝20a1＋d＝10（2a1＋19d）>0.排除C.

故选B.

7．B　由题可知数列{an}为等差数列，

∴S25＝＝100，∴a1＋a25＝8，

∴a12＋a14＝a1＋a25＝8，故选B.

8．C　由S50，

由S6＝S7，得S7－S6＝a7＝0，

∴d<0，S9

9．C　设等差数列的首项为a1，公差为d，

则解得

∴Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，

S4＝－20，S5＝－20，

∴S4＝S5，故选C.

10．B　由已知可得数列是等差数列．

∵a1＝1，a2＝，∴＝1，＝，

∴公差d＝－1＝，∴＝＋5d＝1＋＝，

∴a6＝.

11．D　f（n）＝sin的周期T＝50.

a1，a2，…，a24>0，a25＝0，a26，a27，…，a49<0，a50＝0.

且sin＝－sin，sin＝－sin，…

∴S1，S2，…，S50都为正，同理，S51，…，S100都为正，故选D.

12．B　由Sn＝n2＋3n，可得an＝2（n＋1），

∴bn＝＝，

则数列的前64项和为T64＝

＝，故选B.

13．－10

解析：

由等差数列的性质知，a4＋a10＋a16＝3a10＝30，

∴a10＝10.∴a18－2a14＝（a10＋8d）－2（a10＋4d）＝－a10＝－10.

14．4

解析：

∵a8＝a6＋2a4，∴a4q4＝a4q2＋2a4.

∵a4>0，∴q4－q2－2＝0.解得q2＝2.

又∵a2＝1，∴a6＝a2q4＝1×22＝4.

15．496

解析：

∵an＋1＝4an＋2n，∴a2＝4a1＋2＝6，a3＝4a2＋22＝28；a4＝4a3＋23＝120，a5＝4a4＋24＝496.

16.8

解析：

∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.

又∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.

∴数列{an}的前8项和最大，即n＝8.

17．解：

（1）当n＝1时，S1＝a1＝3＋2＝5；

当n≥2时，∵Sn＝3＋2n，Sn－1＝3＋2n－1，

∴an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而a1＝5，

∴an＝

（2）∵Sn＝2n2＋n，当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）2＋（n－1），

∴an＝Sn－Sn－1＝（2n2＋n）－[2（n－1）2＋（n－1）]＝4n－1.

又当n＝1时，a1＝S1＝3，∴an＝4n－1.

18．解：

（1）证明：

由题意得a1＝S1＝1＋λa1,故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn－1＝1＋λan－1得an＝λan－λan－1，即an（λ－1）＝λan－1，由a1≠0，λ≠0得an≠0.所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.

（2）由

（1）得Sn＝1－n，由S5＝得1－2＝，即5＝，解得λ＝－1.

19.解：

（1）由题得∴

∴an＝1＋4（n－1）＝4n－3.

（2）bn＝（－1）n（4n－3），

T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝（－1＋5）＋（－9＋13）＋…＋（－8n＋7＋8n－3）

＝4n.

20．解：

（1）由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1（n≥2）．两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an（n≥2）．

∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需＝＝3，从而t＝1，即当t＝1时，数列{an}是等比数列．

（2）设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，于是b2＝5.

故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得（5－d＋1）（5＋d＋9）＝（5＋3）2.

解得d1＝2，d2＝－10.

∵等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，∴d<0，d＝－10.

∴Tn＝15n＋×（－10）＝20n－5n2.

21.解：

（1）由题意，得

∴

∴－

∴d＝－8或d＝－9.

（2）当d＝－8时，

Sn＝23n＋n（n－1）（－8）＝－4n2＋27n.

当n＝3时，Sn最大，（Sn）max＝45.

当d＝－9时，

Sn＝23n＋n（n－1）×（－9）＝－n2＋n.

当n＝3时，（Sn）max＝42.

22．解：

（1）Sn＝3n，Sn－1＝3n－1（n≥2），∴an＝3n－3n－1＝2×3n－1（n≥2）．

当n＝1时，a1＝S1＝3≠2×31－1，

∴an＝

（2）∵bn＋1＝bn＋（2n－1），∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3，以上各式相加得，bn－b1＝1＋3＋5＋…＋（2n－3）＝＝（n－1）2.

又b1＝－1，故bn＝n2－2n.

（3）由题意得，cn＝＝

当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2×（n－2）×3n－1，

∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2×（n－2）×3n.

两式相减得，－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2×（n－2）×3n，

∴Tn＝－（3＋32＋33＋…＋3n－1）＋（n－2）×3n＝（n－2）×3n－＝.

又T1＝－3＝，符合上式，∴Tn＝（n∈N*）．

7