三角函数与解三角形总复习.doc

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三角函数的化简与求值

[题型分析·高考展望]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.

体验高考

1.（2015·课标全国Ⅰ）sin20°cos10°－cos160°sin10°等于（　　）

A.－B.C.－D.

2.（2015·重庆）若tanα＝2tan，则等于（　　）

A.1B.2C.3D.4

3.（2016·课标全国甲）若cos＝，则sin2α等于（　　）

A.B.C.－D.－

4.（2016·课标全国丙）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于（　　）

A.B.C.1D.

5.（2016·四川）cos2－sin2＝________.

高考必会题型

题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值

基本公式：

sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.

基本方法：

（1）弦切互化；

（2）“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；（3）在进行开方运算时，注意判断符号.

例1　已知tanα＝2，求：

（1）的值；

（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值.

解　

（1）方法一　∵tanα＝2，∴cosα≠0，

∴＝＝＝＝.

方法二　由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得

＝＝＝.

（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α

＝＝

＝＝.

点评　本题

（1）

（2）两小题的共同点：

都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简.

变式训练1　已知sin（3π＋α）＝2sin，求下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α＋sin2α.

题型二　利用诱导公式化简与求值

1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.

2.诱导公式化简的基本原则：

负化正，大化小，化到锐角为最好！

例2　

（1）设f（α）＝，则f＝______.

（2）化简：

＋＝________.

答案　

（1）　

（2）0

解析　

（1）∵f（α）＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝＝.

（2）原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.

变式训练2　

（1）（2016·课标全国乙）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

（2）已知cos＝a（|a|≤1），则cos＋sin＝________.

答案　

（1）－　

（2）0

解析　

（1）将θ－转化为（θ＋）－.

由题意知sin（θ＋）＝，θ是第四象限角，

所以cos（θ＋）＞0，

所以cos（θ＋）＝＝.

tan（θ－）＝tan（θ＋－）＝－tan[－（θ＋）]

＝－＝－＝－＝－.

（2）cos＝cos＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

∴cos＋sin＝0.

题型三　利用其他公式、代换等化简求值

例3　

（1）在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________.

（2）的值是（　　）

A.B.C.D.

（3）若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为（　　）

A.B.－C.D.－

解三角形问题

[题型分析·高考展望]　正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：

一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.

体验高考

1.（2016·天津）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于（　　）

A.1B.2C.3D.4

2.（2016·课标全国丙）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）

A.B.C.－D.－

3.（2015·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.

4.（2015·广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.

高考必会题型

题型一　活用正弦、余弦定理求解三角形问题

例1　

（1）（2015·广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b

A.3B.2C.2D.

（2）（2016·课标全国乙）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

①求C；

②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

解　①由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.

②由已知，得absinC＝，又C＝，

所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.

所以△ABC的周长为5＋.

点评　在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解；已知大角求小角有一解.在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.

变式训练1　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.

解　

（1）∵bsinA＝acosB，

由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.

在△ABC中，sinA≠0，

即得tanB＝.

∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

即9＝a2＋4a2－2a·2acos，

解得a＝，∴c＝2a＝2.

题型二　正弦、余弦定理的实际应用

例2　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

解　

（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S＝

＝＝.

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

（2）设小艇与轮船在B处相遇.

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos（90°－30°），

故v2＝900－＋.

∵0

∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30，

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.

点评　解三角形中的实际问题四步骤

（1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；

（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

（3）将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；

（4）检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.

变式训练2　为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米.

答案　10

解析　由题意可得，∠BCD＝90°＋15°＝105°，

CD＝10，∠BDC＝45°，∴∠CBD＝30°.

在△BCD中，由正弦定理，

得＝，解得BC＝10米，

∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米.

题型三　解三角形与其他知识的交汇

例3　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

（1）求△ABC的面积；

（2）求a的最小值.

解　

（1）因为cos＝，

所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝，

又因为·＝3，

得bccosA＝3⇒bc＝5⇒S△ABC＝bcsinA＝2.

（2）∵bc＝5，

∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2×5×，

∴a2＝b2＋c2－6，

∴a2＝b2＋c2－6⇒b2＋c2＝6＋a2≥2bc＝10.

∴amin＝2.

当且仅当b＝c＝时，a有最小值2.

点评　解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键.

变式训练3　（2015·陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝（a，b）与n＝（cosA，sinB）平行.

（1）求A；

（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积.

解　

（1）因为m∥n，

所以asinB－bcosA＝0，

由正弦定理，

得sinAsinB－sinBcosA＝0，

又sinB≠0，从而tanA＝.

由于0＜A＜π，所以A＝.

（2）方法一　由余弦定理，

得a2＝b2＋c2－2bccosA，

而由a＝，b＝2，A＝，

得7＝4＋c2－2c，

即c2－2c－3＝0，

因为c＞0，所以c＝3，

故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.

方法二　由正弦定理，得＝，

从而sinB＝.

又由a＞b，知A＞B，

所以cosB＝，

故sinC＝sin（A＋B）＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.

所以△ABC的面积为S＝absinC＝.

高考题型精练

1.（2015·北京改编）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则等于（　　）

A.B.2C.1D.

答案　C

解析　由余弦定理，得

cosA＝＝＝，∴sinA＝，

cosC＝＝＝，∴sinC＝，

∴＝＝1.

2.（2015·重庆改编）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c等于（　　）

A.2B.3C.D.4

答案　D

解析　由3sinA＝2sinB，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4.

3.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　因为a2＜b2＋c2，

所以cosA＝＞0，所以A为锐角，

又因为a＞b＞c，所以A为最大角，

所以角A的取值范围是.

4.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

答案　C

解析　根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.

由余弦定理得cosC＝＜0，故C是钝角.

5.在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC的面积的最大值为（　　）

A.B.C.D.3

答案　B

解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵·＝|－|＝3，

又cosA＝≥1－＝1－，

∴cosA≥，∴0＜sinA≤，

∴△ABC的面积S＝bcsinA＝tanA≤×＝，

故△ABC面积的最大值为.

6.已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝，则下列各式正确的是（　　）

A.b＋c＝2aB.b＋c＜2aC.b＋c≤2aD.b＋c≥2a

答案　C

解析　∵sin2A－cos2A＝，

∴cos2A＝－.

∵0＜A＜，∴0＜2A＜π，

∴2A＝，∴A＝.

由余弦定理得，

a2＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc≥（b＋c）2－（b＋c）2＝，

∴4a2≥（b＋c）2，∴2a≥b＋c.

7.（2016·课标全国甲）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.

答案　

解析　在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.

8.（2015·重庆）在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝______.

答案　

解析　在△ABD中，由正弦定理得＝，

即＝，

解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，

从而∠BAD＝15°＝∠DAC，

所以C＝180°－120°－30°＝30°，

AC＝2ABcos30°＝.

9.（2015·课标全国Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是____________.

答案　（－，＋）

解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF

在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，

∴BF＝＝－.

在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，

∴BE＝×＝＋.

∴－

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2＋c2的取值范围为________.

答案　（3，6]

解析　由正弦定理，

得＝＝＝2，

b＝2sinB，c＝2sinC，

所以b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C）

＝2（1－cos2B＋1－cos2C）

＝4－2cos2B－2cos2（－B）

＝4＋sin2B－cos2B

＝4＋2sin（2B－）.

又0＜B＜，

所以－＜2B－＜，

所以－1＜2sin（2B－）≤2.

所以3＜b2＋c2≤6.

11.（2016·山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA＋tanB）＝＋.

（1）证明：

a＋b＝2c；

（2）求cosC的最小值.

（1）证明　由题意知，

2＝＋.

化简得2（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinA＋sinB，

即2sin（A＋B）＝sinA＋sinB，

因为A＋B＋C＝π，

所以sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，

从而sinA＋sinB＝2sinC，

由正弦定理得a＋b＝2c.

（2）解　由

（1）知c＝，

所以cosC＝＝

＝－≥，

当且仅当a＝b时，等号成立，

故cosC的最小值为.

12.（2016·四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

（1）证明：

sinAsinB＝sinC；

（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.

（1）证明　根据正弦定理，可设

＝＝＝k（k>0），

则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.

代入＋＝中，

有＋＝，变形可得

sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）.

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，

有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC.

所以sinAsinB＝sinC.

（2）解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，

根据余弦定理，有

cosA＝＝.

所以sinA＝＝.

由

（1），知sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

所以sinB＝cosB＋sinB，

故tanB＝＝4.

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