向量知识点题型归纳.docx

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专题--平面向量

1.向向量的相关概念、、

2.向量的线性运算

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：

用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：

用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：

在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。

如

（1）若，则______（答：

）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.B.

C.D.（答：

B）；

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：

）；

（4）已知中，点在边上，且，，则的值是（答：

0）

四．实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：

≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：

对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

2．平面向量的数量积：

如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：

，即＝。

规定：

零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如

（1）△ABC中，，，，则_________（答：

－9）；

（2）已知，与的夹角为，则等于___（答：

1）；

（3）已知，则等于____（答：

）；

（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：

）

3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

如

已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：

）

4．的几何意义：

数量积等于的模与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：

设两个非零向量，，其夹角为，则：

①；

②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角的计算公式：

；④。

如

（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______

（答：

或且）；

（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：

）；

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：

利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：

设，那么向量叫做与的和，即；

②向量的减法：

用“三角形法则”：

设，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：

此处减向量与被减向量的起点相同。

如

（1）化简：

①___；②____；③_____

（答：

①；②；③）；

（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：

）；

（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：

直角三角形）；

（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：

2）；

（5）若点是的外心，且，则的内角为____（答：

）；

2．坐标运算：

设，则：

①向量的加减法运算：

，。

如

已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（答：

（9,1））

②实数与向量的积：

。

③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如

设，且，，则C、D的坐标分别是_____（答：

）；

④平面向量数量积：

。

⑤向量的模：

。

如

已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：

）；

⑥两点间的距离：

若，则。

七．向量的运算律：

1．交换律：

，，；

2．结合律：

，；

3．分配律：

，。

如

下列命题中：

①；②；③

；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。

其中正确的是_____（答：

①⑥⑨）

提醒：

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：

对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？

八．向量平行（共线）的充要条件：

＝0。

如

（1）若向量，当＝_____时与共线且方向相同

（答：

2）；

（2）已知，，，且，则x＝______

（答：

4）；

（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线

（答：

－2或11）

九．向量垂直的充要条件：

.特别地。

如

（1）已知，若，则（答：

）；

（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________

（答：

（1,3）或（3，－1））；

（3）已知向量，且，则的坐标是________

（答：

）

十．线段的定比分点：

1．定比分点的概念：

设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；

2．的符号与分点P的位置之间的关系：

当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。

如

若点分所成的比为，则分所成的比为_______

（答：

）

3．线段的定比分点公式：

设、，分有向线段所成的比为，则，==线段PP的中点公式。

在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。

在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。

如

（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______

（答：

）；

（2）已知，直线与线段交于，且，则等于______

（答：

２或－４）

十一．平移公式：

如果点按向量平移至，则=，；曲线按向量平移得曲线.注意：

（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？

（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

如

（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______

（答：

（－８，３））；

（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：

）

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2），特别地，当同向或有

；当反向或有；当不共线（这些和实数比较类似）.

在中，

①若，则其重心的坐标为。

如

若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：

）；

②为的重心，特别地为的重心；

③为的垂心；

④向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；

（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如

平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______

（答：

直线AB）

12、向量与三角形

外心.

三角形外接圆的圆心,简称外心.是三角形三边中垂线的交点.（下左图）

重心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.

掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）

三、垂心

三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）

四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.

三角形内角平分线性质定理:

三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）

题型一：

共线定理应用

例一：

平面向量共线的充要条件是（）A.方向相同B.两向量中至少有一个为零向量C.存在D存在不全为零的实数

变式一：

对于非零向量，“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式二：

设是两个非零向量（）

A.若则B.若，则

C.若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则

例二：

设两个非零向量，不共线，

（1）如果

（2）如果求实数k的值。

变式一：

设两个不共线向量，若三点A,B,D共线，求实数k的值。

变式二：

已知向量，且则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

题型二：

线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用

例一：

设P是三角形ABC所在平面内的一点，则（）

A.B.C.D.

变式一：

已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,那么（）A.B.C.D.

变式二：

在平行四边形ABCD中，，,M为BC的中点，则（用表示）

例二：

在三角形ABC中，，,若点D满足,则（）

A.B.C.D.

变式一：

（高考题）在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,，,,则（）

A.B.C.D.

变式二：

设D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点，且则与（）

A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直

变式三：

在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若,其则=

变式四：

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若则（）A.B.C.D.

题型三：

三点共线定理及其应用

例一：

点P在AB上，求证：

且=1（）

变式：

在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M和N,若则m+n=

例二：

在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设则

A.B.C.D.

变式：

在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与BN相交于点P,若求的值。

题型四：

向量与三角形四心

一、内心

例一：

O是ABC所在平面内一定点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心

变式一：

已知非零向量与满足，且，则ABC为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形

变式二：

P为ABC的内心

二、重心

例一：

O是ABC内一点，，则为ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心

变式一：

在ABC中，G为平面上任意一点，证明：

O为ABC的重心

变式二：

在ABC中，G为平面上任意一点，证明：

O为ABC的重心

三垂心：

例一：

求证：

在ABC中，O为ABC的垂心

变式一：

O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

四外心

例一：

若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，则

变式一：

已知点O，N，P在ABC所在平面内，且，，则O，N，P依次是ABC的（）

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

题型五：

向量的坐标运算

例一：

已知A（-2,4）,B（3，-1），C（-3，-4），且,试求点M,N和的坐标。

变式一：

已知平面向量其中t和k为不同时为零的实数，

（1）若，求此时k和t满足的函数关系式k=f（t）;

（2）若，求此时k和t满足的函数关系式k=g（t）.

变式二：

平面内给定3个向量，回答下列问题。

（1）求；

（2）求满足的实数m,n;（3）若，求实数k；（4）设且，求。

题型六：

向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示

例一：

已知两个向量,当实数k取何值时，向量与平行？

变式一：

设向量a,b满足|a|=，b=（2,1），且a与b反向，则a坐标为_________

例二：

已知向量且A,B,C三点共线，则k=（）

A:

B:

C:

D:

变式一：

已知且a//b，则锐角α为__________

变式二：

△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量若，则∠C的大小为（）

A:

B:

C:

D:

题型七：

平面向量的数量积

例一：

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则（）A：

-16B:

-8C:

8D:

16

（2）（高）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为______；的最大值为_______

（3）在△ABC中，M是BC中点，AM=1，点P在AM上满足，则等于（）

A:

B:

C:

D:

变式一：

（高）如图所示，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_______

变式二：

在△ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O为△ABC的重心，则的值为________

例二：

（高）在矩形ABCD中，AB=,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若,则的值是

变式一：

（高）在△ABC中，,,AC=2.设点P,Q满足,若,则=（）A:

B:

C:

D:

2

例三：

已知向量满足则

变式一：

在△ABC中，若则

变式二：

已知向量满足则

变式三：

已知向量满足则

题型八：

平面向量的夹角

例一：

已知向量则的夹角是　　　　　　　

例二：

已知是非零向量且满足则的夹角是　　　　　　　

变式一：

已知向量满足则的夹角是　　　　　　　

变式二：

已知是非零向量且满足则的夹角是　　　　　　　

变式三：

若向量不共线，则的夹角是　　　　　　　

变式四：

（高）若向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为０.５，则的夹角的取值范围是　　　　　　　

例二：

已知，的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值范围。

变式一：

设两个向量，满足，的夹角为，若向量与的夹角为钝角，求实数t的范围。

变式二：

已知均为单位向量，其夹角为，有下列4个命题：

其中的真命题是（）A.B.C.D.

题型九：

平面向量的模长

例一：

已知，向量的夹角为，求，。

变式一：

已知向量满足，则=

变式二：

已知向量满足的夹角为，则=

变式三：

在△ABC中，已知求.

例二：

已知向量的夹角为，则=

变式一：

（高）已知向量的夹角为，且则=

变式二：

设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,=,则

变式三：

已知向量，若则

例三：

已知向量，满足，且的取值范围是

变式一：

已知单位向量，且，的最大值为

变式二：

（高）已知直角梯形ABCD中，AD//BC,,AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为

题型十：

平面向量在三角函数中的应用

例一：

在△ABC中，A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知向量，且满足

（1）求A的大小

（2）求的值

变式一：

已知变量，函数

（1）求f（x）解析式

（2）求f（x）的单调递增区间

（3）如果△ABC的三边a,b,c满足，且b边所对的角为x，试求x的范围和此时f（x）的值域

变式二：

已知向量

（1）求证a·b及|a+b|

（2）定义f（x）=a·b-2m|a+b|,若函数f（x）的最小值为，求实数m的值

变式三：

在三角形ABC中，已知

（1）求证

（2）若，求A的值

题型十一：

平面向量在解析几何中的应用

例题一：

设曲线C上任意一点满足向量且

（1）求曲线的方程

（2）过点N（0,2）作直线l与曲线C交与A，B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使四边形OAPB为矩形；若存在，求出直线l的方程；反之，叙述理由。

变式一：

已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足，求曲线方程。

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