完整版经典高考概率分布类型题归纳doc.docx
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完整版经典高考概率分布类型题归纳doc
经典高考概率类型题总结
一、超几何分布类型
二、二项分布类型
三、超几何分布与二项分布的对比
四、古典概型算法
五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）
六、综合算法
一、超几何分布
1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.
（1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：
①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？
②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X，求X的概率分布和数学期望.
二、二项分布
1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可
自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、
丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选
择是相互独立的.
（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．
O（∩_∩）O
2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红
2
1
灯的概率都是
3，出现绿灯的概率都是
3.记这4
盏灯中出现红灯的数量为
X，
当这排装饰灯闪烁一次时：
（1）求X＝2时的概率；
（2）求X的数学期望．
解
（1）依题意知：
X＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红
2
灯，而每盏灯出现红灯的概率都是3，
故X＝2时的概率P＝C22212＝8.43327
（2）法一X的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知
k2k14－k
P（X＝k）＝C433（k＝0,1,2,3,4）．
∴X的概率分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
8
8
32
16
81
81
81
81
81
1
8
8
32
16
8
∴数学期望E（X）＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×
81＝3.
三、超几何分布与二项分布的对比
有一批产品，其中有
12件正品和4件次品，从中有放回地依
次任取3件，若X表示取到次品的次数，则
P（X）＝
.
辨析：
1.有一批产品，其中有
12件正品和
4件次品，从中不放回地依
次任取3件，若X表示取到次品的件数，则
P（X）＝
2.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，则P（X）＝
3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，则P（X）＝
四、古典概型算法
1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x1,x2，记X=（x1-2）2+（x2-2）2.
（1）分别求出X取得最大值和最小值的概率；
（2）求X的概率分布及方差.
O（∩_∩）O
2.（2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两
条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
3.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（1）恰有2人申请A片区房源的概率；
（2）申请的房源所在片区的个数X的概率分布与期望.
4.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
（1）记“使得m＋n＝0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其数学期望E（ξ）．
解
（1）由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为（－2,2），（2，－2），
（－1,1），（1，－1），（0,0）．
（2）由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P（ξ＝0）＝16，
21
P（ξ＝1）＝＝，
21
P（ξ＝4）＝6＝3，
1
P（ξ＝9）＝6.
故ξ的概率分布表为
ξ0
1
4
9
P
1
1
1
1
6
3
3
6
1
1
1
1
19
所以E（ξ）＝0×
6＋1×3＋4×
3＋9×
6＝
6.
5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组
选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》
的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和
坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分
情况.
（1）求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；
O（∩_∩）O
（2）设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列
和数学期望．
解
（1）设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.
由于事件A、B相互独立，
2
2
2
C5
C42
所以P（A）＝C62＝
3，P（B）＝C62＝5，
所以选出的4
人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为
P（A·B）＝
224
P（A）·P（B）＝3×5＝15.
（2）X可能的取值为
0,1,2,3，则
4
2
1
1
1
2
22
C5
C2·C4
C5
C4
，P（X＝1）＝
2·2
＋
2·2＝
，
P（X＝0）＝15
C6
C6
C6
C6
45
1
1
1
P（X＝3）＝
C5
2·2＝.
C6
C6
45
2
P（X＝2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）－P（X＝3）＝9.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
4
22
2
1
15
45
9
45
所以X的数学期望E（X）＝0×
4
＋1×22＋2×2＋3×
1
＝1（人）．
15
45
9
45
6.
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙
两个盒内各任取2个球．
（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；
O（∩_∩）O
（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
解：
（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．
∵事件A，B相互独立，且
．
∴取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=．
（II）解：
设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为
事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．
∵事件C，D互斥，且
．
∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P（C+D）=P（C）+P（D）=．
（III）解：
ξ可能的取值为0，1，2，3．
由（I），（II）得
O（∩_∩）O
，
又，
从而P（ξ=2）=1P（ξ=0）P（ξ=1）P（ξ=3）=．
ξ的分布列
ξ的数学期望．
五、独立事件概率分布之非二分布（主要在于如何分）
1.开次数的数学期望和方差有n把看上去子相同的匙，其中只有一把能把大上
的打开．用它去开上的．抽取匙是相互独立且等可能的．每把匙开后不
能放回．求开次数的数学期望和方差．
分析：
求P（k），由知前k1次没打开，恰第k次打开．不，一般我从
的地方入手，如1,2,3，律后，推广到一般．
解：
的可能取
1，2，3，⋯，n．
P（
1）
1,
n
P（
2）
1
1
n1
1
1
;
（1）
n
1
n
n
1n
n
P（
3）（11）（1
1）
1
n1n21
1;
n
n1n2
nn1n2n
P（
k）（11）（1
1）（1
1）（1
1
）
1
n1n2n3nk111
n
n1
n2
nk2nk1
nn1n2nk2nk1n
；所以
的分布列：
O（∩_∩）O
12⋯k⋯n
P
1
1
1
1
n
n
⋯
⋯
n
n
E11
21
31
n1n1；
n
n
n
n
2
D
（1
n1
2
1
n1
2
1
n1
21
（k
n1
21
n1
）
21
）
（2
2
）
（3
）
n
）
n
（n
n
2
n
n
2
2
2
1（12
22
32
n2）（n1）（123
n）（n1）2n
n
2
1
1n（n
1）（2n
1）
n（n1）2
n（n
1）2
n2
1
n
6
2
4
12
2.射中耗用子数的分布列、期望及方差
某射手行射，每射5子算一，一旦命中就停止射，并入下一的，否一直打完5子后才能入下一，若射手在某中射命中一次，
并且已知他射一次的命中率0.8，求在一中耗用子数的分布列，并求出的
期望E与方差D（保留两位小数）．
分析：
根据随机量不同的取确定的概率，在利用期望和方差的定求解．
解：
耗用的子数随机量，可以取1，2，3，4，5．
＝1，表示一即中，故概率
P
（1）0.8;
＝2，表示第一未中，第二命中，故
P（
2）（10.8）0.80.20.80.16;
＝3，表示第一、二未中，第三命中，故
P（
3）（10.8）2
0.80.22
0.80.032;
＝4，表示第一、二、三未中，第四命中，故
P（
4）（10.8）30.80.23
0.80.0064
＝5，表示第五命中，故
O（∩_∩）O
P（
5）（10.8）410.24
0.0016.
因此，的分布列为
1
2
3
4
5
P
0.8
0.16
0.032
0.0064
0.0016
E
1
0.8
2
0.16
3
0.032
4
0.0064
5
0.0016
0.8
0.32
0.096
0.0256
0.008
1.25,
D
（1
1.25）2
0.8
（2
1.25）2
0.16
（3
1.25）2
0.032（41.25）2
0.0064（51.25）20.0016
0.05
0.09
0.098
0.0484
0.0225
0.31.
3.
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投
3次；在A处每投进一球
得3
分，在B处每投进一球得
2分；如果前两次得分之和超过
3分即停止投篮，否则投第
三次.某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为
q2，该同学选择先在A处投一
球，以后都在
B处投，用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
（1）求q2的值；
（2）求随机变量的数学期望E；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分
的概率的大小．
解:
（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，
且P（A）=0.25，P（A）0.75，P（B）=q2，P（B）1q2．
根据分布列知：
=0时P（ABB）P（A）P（B）P（B）0.75（1q2）2=0.03，所以
1q20.2，q2=0.8．
（2）当=2时，P1=P（ABBABB）P（ABB）P（ABB）
P（A）P（B）P（B）P（A）P（B）P（B）=0.75q2（1q2）×2=1.5q2（1q2）=0.24．
当=3时，P2=P（ABB）P（A）P（B）P（B）0.25（1q2）2=0.01，
O（∩_∩）O
当
=4时，P3
=P（ABB）P（A）P（B）P（B）
0.75q2
2
=0.48，
当
=5时，P4
=P（ABBAB）
P（ABB）
P（AB）
P（A）P（B）P（B）P（A）P（B）
0.25q2（1
q2）0.25q2=0.24．
所以随机变量
的分布列为：
随机变量的数学期望E00.0320.2430.0140.4850.243.63．
（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P（BBBBBBBB）
P（BBB）P（BBB）P（BB）2（1q2）q22q220.896；
该同学选择
（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．
4.某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙
两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这
2
些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为被乙小组攻
3
克的概率为3.
4
（1）设X为攻关期满时获奖的攻关小组数，求X的概率分布及
V（X）；
（2）设Y为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的攻关小组数之差，求V（Y）.
5.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的
景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）x23x1在区间[2,）上单调递增”为事件A，求事件A
O（∩_∩）O
的概率.
分析：
（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，
3
2
即可．
就本题而言，只需
2
解：
（1）分别记“客人游览甲景点”
，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为
事件A1,A2,A3．由已知A1,A2,A3
相互独立，P（A1）0.4,P（A2）
0.5,P（A3）
0.6.
客人游览的景点数的可能取值为
0，1，2，3.
相应的，客人没有游览的景点数的可能
取值为3，2，1，0，所以
的可能取值为1，3．
P（
3）
P（A1gA2gA3）
P（A1gA2gA3）
[
P（A1）P（A2）P（A3）
P（A1）P（A2）P（A3）
2
0.4
0.50.6
0.24
P（
1）
10.24
0.76
1
3
所以
的分布列为
P
0.76
0.24
E（）
10.763
0.24
1.48
（Ⅱ）解法一：
因为
f（x）
（x
3
）219
2,所以函数
2
4
f（x）
x2
3x1在区间[3
）上单调递增，要使
f（x）在[2,
）上单调递增，
2
当且仅当3
2,即
4
.从而P（A）P（
4
）
P（
1）0.76.
2
3
3
解法二：
的可能取值为1，3.
当
1
时，函数f（x）
x2
3x
1在区间[2,
）上单调递增，
当
3
时，函数f（x）
x2
9x
1在区间[2,
）上不单调递增.
所以P（A）P
（1）
0.76.
6.甲、乙两人各进行3
次射击，甲每次击中目标的概率为
1，乙每次击中目标
2
2
的概率为3.
O（∩_∩）O
（1）求乙至多击中目标2次的概率；
（2）记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．
解
（1）甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标
2次的
3
23
19
概率为
1－C33
＝27.
0
13
1
（2）P（Z＝0）＝C3
2
＝8；
P（Z＝1）
1
1
3
3
＝C3
2
＝
8；
P（Z＝2）
＝C32
1
3＝
3
2
8；
P（Z＝3）
＝C33
1
1
2
3＝.
8
Z的分布列如下表：
Z
0
1
2
3
P
1
3
3
1
8
8
8
8
1
3
3
1
3
E（Z）＝0×8＋1×8＋2×8＋3×8＝
2，
D（Z）＝0－
3
1
3
3
3
3
3
1
3
DZ＝
3
2
2×＋1－
2
2×＋2－
2
2×＋3－
2
2×＝，∴
2
.
8
8
8
8
4
7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术
水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过
第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品
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