浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试(一模)数学(理)试题.docx
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2014年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题2014.2
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知角的终边与单位圆交于点，，则（）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则中所含元素的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．在复平面内，复数对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
第5题图
5．已知某几何体的三视图（单位:
）如图所示，则此几何体的体积是（）
A．1 B．3C．5D．7
6．已知，，且，则的
最大值是（）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
7．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为（）
A．150B．200C．600D．1200
8．对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．已知，分别为双曲线，的左、右焦点，若在右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是（）
A． B． C．D．
第13题图
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.已知函数，则．
12．设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为．
13．某程序框图如图所示，若输入的，则输出的结果是．
14．直线与曲线的交点个数是．
15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为．
第16题图
16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是．
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
17．平面向量，，满足，，，，则的最小值为．
三、解答题：
本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）△中，角，，所对的边分别为，，．若，．
（Ⅰ）求角的取值范围；
（Ⅱ）求的最小值．
19．（本题满分14分）已知数列中，，．
（Ⅰ）求证：
数列是等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设，，试比较与的大小．
第20题图
20．（本题满分14分）如图，平面平面，
四边形为矩形，．为的中点，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若与平面所成的角为，
求二面角的余弦值．
21．（本题满分15分）抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与
椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；
（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：
是否存在直线，使得，，成等比数列？
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分15分）设，函数．
（Ⅰ）当时，求在内的极大值；
（Ⅱ）设函数，当有两个极值点时，总有
，求实数的值.（其中是的导函数．）
2014年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题
参考答案2014.2
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
D
C
D
B
C
D
二、填空题：
本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．12．113．514．2个15．16．①②④17．
三、解答题：
18（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）由正弦定理，得，即．………………2分
由，得，………………4分
又＞，故为锐角，所以．………………6分
（Ⅱ）………………9分
，……………12分
由，得，故，
所以（当时取到等号）
所以的最小值是0．……………14分
19．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）因，………3分
故数列是首项为－4，公差为－1的等差数列，……………5分
所以，即．…………7分
（Ⅱ）因，故，则，…………9分
于是，…………11分
从而，…………12分
所以，当时，；当时，．…………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
连结，因，是的中点，
故．
又因平面平面，
故平面，…………2分
于是．
又，
所以平面，
所以，…………4分
又因，
故平面，
所以．…………6分
（Ⅱ）解法一：
由（I），得．不妨设，．…………7分
因为直线与平面所成的角，
故，
所以，为等边三角形．…………9分
设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．
取的中点，连结，，则，，
所以为二面角的平面角．…………12分
在中，，，…………13分
故，
即二面角的余弦值为．…………14分
解法二：
取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，…………8分
从而，.
设平面的法向量为，
由，得，
可取．…………10分
同理，可取平面的一个法向量为
．………12分
于是，……13分
易见二面角的平面角与互补，
所以二面角的余弦值为．…………14分
21．（本小题满分15分）
解：
（I）抛物线的焦点，………1分
椭圆的左焦点，………2分
则．………3分
（II）设直线，，，，，
由，得，………4分
故，．
由，得，
故切线，的斜率分别为，，
再由，得，
即，
故，这说明直线过抛物线的焦点．………7分
由，得，
即．………8分
于是点到直线的距离.……9分
由，得，………10分
从而，………11分
同理，．………12分
若，，成等比数列，则，………13分
即，
化简整理，得，此方程无实根，
所以不存在直线，使得，，成等比数列．………15分
22．（本小题满分15分）
解：
（Ⅰ）当时，，
则，………2分
令，则，
显然在内是减函数，
又因，故在内，总有，
所以在上是减函数…………4分
又因，…………5分
所以当时，，从而，这时单调递增，
当时，，从而，这时单调递减，
所以在的极大值是．…………7分
（Ⅱ）由题可知，
则．…………8分
根据题意，方程有两个不同的实根，（），
所以，即，且，因为，所以.
由，其中，可得
注意到，
所以上式化为，
即不等式对任意的恒成立…………10分
（i）当时，不等式恒成立，；
（ii）当时，恒成立，即．
令函数，显然，是上的减函数，
所以当时，，所以；…………12分
（iii）当时，恒成立，即．
由（ii），当时，，所以…………14分
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