高考空间几何体的外接球与内切球问题专项突破复习.doc

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2014届高考球体问题专项突破复习

例1球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

分析：

求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．

解：

∵，，，

∴，是以为斜边的直角三角形．

∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，

又球心到截面的距离为，∴，得．

∴球的表面积为．

说明：

涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

例2．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．

分析：

此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：

以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

=．

说明：

此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

分析：

首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．

解：

设球的半径为，正方体的棱长为，它们的体积均为，

则由，，由得．

．．

，即．

例4　一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

分析：

先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分（圆台）的体积等于球的体积，列式求解．

解：

如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高

∵，，

则以为底面直径的圆锥容积为，

球取出后水面下降到，水体积为．

又，则，解得．

例5．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

分析：

此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

解：

如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．

设，正四面体的一个面的面积为．

依题意得，又

即．

所以．．

说明：

正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径（为正四面体的高），且外接球的半径．

例6．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

分析：

关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

解：

四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．

而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．

例7．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．

（1）求两球半径之和；

（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

分析：

此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可．

解：

如图2，球心和在上，过，分别作的垂线交于．

图2

则由得．

，．

（1）设两球体积之和为，

则

=

=

当时，有最小值．当时，体积之和有最小值．

练习：

1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是（　　）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

答案:

C

解:

由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径R==.所以球的表面积是S=4πR2=24π.

2、一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为（　　）

A.3π

B.4π

C.3π

D.6π

答案:

A

以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R=,所以S球=4πR2=3π.

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

解：

将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得（2R）2=a2+a2+（2a）2,即4R2=6a2.

所以R=a.从而V半球=R3==a3,

V正方体=a3.

因此V半球∶V正方体=a3∶a3=π∶2.

4.一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为（　　）

A.3π

B.4π

C.3π

D.6π

答案:

A

解析:

以PA,PB,PC为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以球的半径R==2,所以球的表面积是S=4πR2=16π.

5.过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．

解：

由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．

6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B）

A．B．C．D．

7.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若

，则此球的表面积等于。

解:

在中,,可得,由正弦定理,可得

外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.

8．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱

柱的体积为　　．

答案8

9.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．B．C．D．

答案A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，

，则此球的直径为，故选A。

10.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（D）

A.2B.C.D.

11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为（C）

A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9

12.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．（）

13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．

A

B

C

P

D

E

F

14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。

如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.

15.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，

则此正六棱锥的侧面积是________．

16.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形（正四面体的截面）的面积是.

16.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（C）

A．

B．

C．

D．以上都不对

17.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（C）

A．B．2πC．4π D．

18．（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为 （　　）

A． B． C． D．

19．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.

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