浙江省各年高考卷中圆锥曲线大题.docx
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圆锥曲线大题
1、如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：
y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
5.答案：
（1）略；
（2）.
解答：
（1）设，，，
则中点为，由中点在抛物线上，可得，
化简得，显然，
且对也有，
所以是二次方程的两不等实根，
所以，，即垂直于轴.
（2），
由
（1）可得，，
，
此时在半椭圆上，
∴，
∵，∴，
∴，
，
所以，
，所以，
即的面积的取值范围是.
2、如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
解得点Q的横坐标是，因为|PA|==
|PQ|=，所以|PA||PQ|=
令，因为，所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．
3、如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【答案】（I）；（II）．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，
，，
故
，
所以．
由于，，得
，
因此
，①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，
所以
．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
，
由得，所求离心率的取值范围为．
4、已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．
5、如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.
（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，证明：
点到直线的距离的最大值为.
71.（I）设直的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为；
（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为.
6、如图，点P（0，−1）是椭圆C1：
（a>b>0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：
x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A
（第21题图）
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力
【答案解析】
（Ⅰ）由题意得
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx−1．
又圆C2：
x2+y2=4，故点O到直线l1的距离d=，
所以|AB|=2=2．
又l1^l2，故直线l2的方程为x+ky+k=0．
由 消去y，整理得（4+k2）x2+8kx=0
故x0=−．
所以|PD|=．
设△ABD的面积为S，则S=|AB|×|PD|=，
所以S=£=，
当且仅当k=±时取等号
所以所求直线l1的方程为y=±x−1
7、如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求ABP的面积取最大时直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题：
；
（1）
左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：
．
（2）
由
（1）
（2）可解得：
．
∴所求椭圆C的方程为：
．
（Ⅱ）易得直线OP的方程：
y＝x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴．
设直线AB的方程为l：
y＝﹣（m≠0），
代入椭圆：
．
显然．
∴﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：
＝m，＝．
∴|AB|＝||＝＝．
∵点P（2，1）到直线l的距离为：
．
∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，
当|m＋2|＝，即m＝﹣3orm＝0（舍去）时，（SABP）max＝．
此时直线l的方程y＝﹣．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y＝﹣．
8、已知抛物线＝，圆的圆心为点M。
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程.
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分15分。
（I）解：
由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心M（0，4）到准线的距离是
（II）解：
设，
则题意得，
设过点P的圆C2的切线方程为，
即 ①
则
即，
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
将①代入
由于是此方程的根，
故，所以
由，得，
解得
即点P的坐标为，
所以直线的方程为
9、
已知m＞1，直线，
椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，
的重心分别为.若原点在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.
解析：
本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（Ⅰ）解：
因为直线经过，
所以,得，
又因为，
所以，
故直线的方程为。
（Ⅱ）解：
设。
由，消去得
则由，知，
且有。
由于，
故为的中点，
由，
可知
设是的中点，则，
由题意可知
即
即
而
所以
即
又因为且
所以。
所以的取值范围是。
10、已知椭圆：
的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：
上，在点处
的切线与交于点．当线段的中点与的中
点的横坐标相等时，求的最小值．
32.解析：
（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．
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