正弦函数余弦函数的性质.doc

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正弦函数余弦函数的性质

教学目标

1．掌握y＝sinx（x∈R），y＝cosx（x∈R）的周期性、奇偶性、单调性和最值．（重点）

2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．（难点）

3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．（易混点）

[基础·初探]

教材整理1　函数的周期性

阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题．

1．函数的周期性

（1）对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

（2）如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

2．两种特殊的周期函数

（1）正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．

（2）余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．

函数y＝2cosx＋5的最小正周期是________．

解：

函数y＝2cosx＋5的最小正周期为T＝2π.

【答案】　2π

教材整理2　正、余弦函数的奇偶性

阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题．

1．对于y＝sinx，x∈R恒有sin（－x）＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．

2．对于y＝cosx，x∈R恒有cos（－x）＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．

判断函数f（x）＝sin的奇偶性．

解：

因为f（x）＝sin＝－cos2x.

且f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos2x＝f（x），所以f（x）为偶函数．

教材整理3　正、余弦函数的图象和性质

阅读教材P37～P38“例3”以上内容，完成下列问题．

函数名称

图象与性质

性质分类

y＝sinx

y＝cosx

相同处

定义域

R

R

值域

[－1，1]

[－1，1]

周期性

最小正周期为2π

最小正周期为2π

不同处

图象

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在

（k∈Z）上是增函数；在

（k∈Z）上是减函数

在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上减函数

对称轴

x＝kπ＋（k∈Z）

x＝kπ（k∈Z）

对称

中心

（kπ，0），（k∈Z）

（k∈Z）

最值

x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ－（k∈Z）时，ymin＝－1

x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若sin＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期．（　　）

（2）函数y＝sinx在第一象限内是增函数．（　　）

（3）余弦函数y＝cosx是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．（　　）

（4）余弦函数y＝cosx的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．（　　）

解：

（1）×.因为对任意x，sin与sinx并不一定相等．

（2）×.y＝sinx的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示．

（3）√.由余弦函数图象可知正确．

（4）√.由余弦函数图象可知正确．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

[小组合作型]

三角函数的周期问题及简单应用

（1）下列函数是以π为最小正周期的函数是（　　）

A．y＝sinx B．y＝sinx＋2

C．y＝cos2x＋2 D．y＝cos3x－1

（2）函数y＝sin的最小正周期为________．

（3）求函数y＝|sinx|的最小正周期．

（1）

（2）利用周期定义或公式T＝.（3）利用图象求解．

解：

（1）y＝sinx及y＝sinx＋2的最小正周期为2π，y＝cos2x＋2的最小正周期为π，y＝cos3x－1的最小正周期为，所以选C．

（2）法一：

y＝sin

＝sin

＝sin，所以最小正周期为π.

法二：

因为函数y＝sin中ω＝2，所以其最小正周期T＝＝＝π.

【答案】　

（1）C　

（2）π

（3）作函数y＝|sinx|的简图如下：

由图象可知y＝|sinx|的最小正周期为π.

求三角函数周期的方法：

（1）定义法：

即利用周期函数的定义求解．

（2）公式法：

对形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0）的函数，T＝.

（3）观察法：

即通过观察函数图象求其周期．

[再练一题]

1．求下列三角函数的周期：

（1）y＝3sinx，x∈R；

（2）y＝cos2x，x∈R；

（3）y＝sin，x∈R.

解：

（1）因为3sin（x＋2π）＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.

（2）因为cos2（x＋π）＝cos（2x＋2π）＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.

（3）因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.

三角函数奇偶性的判断

（1）函数y＝sin是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

（2）已知a∈R，函数f（x）＝sinx－|a|（x∈R）为奇函数，则a等于（　　）

A．0 B．1

C．－1 D．±1

（3）判断下列函数的奇偶性：

①f（x）＝|sinx|＋cosx.

②f（x）＝＋.

（1）可先化简解析式再判断奇偶性．

（2）可由f（－x）＝－f（x）恒成立来求a.（3）②中注意先求定义域并化简解析式后由定义法判断．

解：

（1）因为y＝sin

＝sin

＝－sin＝－cos2016x，

所以为偶函数．

（2）函数定义域为R，因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝sin（－x）－|a|＝－f（x）＝－sinx＋|a|，

所以|a|＝0，从而a＝0，故选A．

【答案】　

（1）B　

（2）A

（3）①函数的定义域为R，

又f（－x）＝|sin（－x）|＋cos（－x）＝|sinx|＋cosx＝f（x），所以此函数是偶函数．

②由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f（x）＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．

1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：

一看函数的定义域是否关于原点对称；

二看f（x）与f（－x）的关系．

2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

[再练一题]

2．

（1）函数f（x）＝sin2x的奇偶性为（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

（2）判断函数f（x）＝sin的奇偶性．

解：

（1）∵f（x）的定义域是R.

且f（－x）＝sin2（－x）＝－sin2x

＝－f（x），∴函数为奇函数．

【答案】　A

（2）∵f（x）＝sin＝－cosx，

∴f（－x）＝－cos＝－cosx，

∴函数f（x）＝sin为偶函数．

求正、余弦函数的单调区间

（1）下列函数，在上是增函数的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝cosx

C．y＝sin2x D．y＝cos2x

（2）函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

（3）求函数y＝sin的单调递减区间．

（1）可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；

（2）可利用[－π，a]为y＝cosx对应增区间子集求a范围；（3）可先化为y＝－sin后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解．

解：

（1）因为y＝sinx与y＝cosx在上都是减函数，所以排除A，B．因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.

因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C．

（2）因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π

【答案】　

（1）D　

（2）（－π，0]

（3）y＝sin＝－sin，

令z＝x－，则y＝－sinz，

要求y＝－sinz的递减区间，只需求sinz的递增区间，

即2kπ－≤z≤2kπ＋，k∈Z，

∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

∴2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

故函数y＝sin的单调递减区间为（k∈Z）．

1．求形如y＝Asin（ωx＋φ）＋b或形如y＝Acos（ωx＋φ）＋b（其中A≠0，ω>0，b为常数）的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．

2．具体求解时注意两点：

①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦（或余弦）函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦（余弦）函数单调性相反的单调区间．

[再练一题]

3．求函数y＝2cos的单调递减区间．

解：

令2kπ≤3x－≤π＋2kπ（k∈Z），

解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），

所以函数y＝2cos的单调递减区间为（k∈Z）．

[探究共研型]

正、余弦函数的值域与最值问题

探究1　函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值能否为－1?

不能．因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.

探究2　函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？

不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.

　求下列函数的值域：

（1）y＝3－2sin2x；

（2）y＝cos，x∈；

（3）y＝cos2x－4cosx＋5.

（1）利用－1≤sin2x≤1求解．

（2）可换元令z＝x＋∈，转化为求y＝cosz值域来求解；（3）可换元，令cosx＝t，转化为一元二次函数来解决．

解：

（1）∵－1≤sin2x≤1，

∴－2≤－2sin2x≤2，

∴1≤3－2sin2x≤5，

∴原函数的值域是[1，5]．

（2）由y＝cos，x∈可得x＋∈，

因为函数y＝cosx在区间上单调递减，所以函数的值域为.

（3）y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1.

y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1，

当t＝－1，函数取得最大值10；

t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10]．

[再练一题]

4．

（1）函数y＝2cos，x∈的值域为________．

（2）函数f（x）＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域为________．

解：

（1）∵x∈，

∴2x＋∈，

∴cos∈

∴函数的值域为[－1，2]．

（2）令t＝sinx，

∵x∈，∴≤sinx≤1，

即≤t≤1.

∴f（t）＝2t2＋2t－＝2－1，

t∈，且该函数在上单调递增．

∴f（t）的最小值为f＝1，最大值为f

（1）＝.

即函数f（x）的值域为.

【答案】　

（1）[－1，2]　

（2）

[构建·体系]

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若sin（60°＋60°）＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．（　　）

（2）若T是函数f（x）的周期，则kT，k∈N*也是函数f（x）的周期．（　　）

（3）函数y＝sinx，x∈（－π，π]是奇函数．（　　）

解：

（1）×.举反例，sin（40°＋60°）≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．

（2）√.根据周期函数的定义知，该说法正确．

（3）×.因为定义域不关于原点对称．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）×

2．函数f（x）＝sin，x∈R的最小正周期为（　　）

A．　　　　　　 B．π

C．2π D．4π

解：

因为sin

＝sin

＝sin，即f（x＋4π）＝f（x），所以函数f（x）的最小正周期为4π.

【答案】　D

3．函数f（x）＝sin的一个递减区间是（　　）

A． B．[－π，0]

C． D．

解：

令x＋∈，k∈Z，

得x∈，k∈Z，

k＝0时，区间是函数f（x）的一个单调递减区间，而⊆.故选D．

【答案】　D

4．比较下列各组数的大小：

（1）cos150°与cos170°；

（2）sin与sin.

解：

（1）因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cosx在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos150°>cos170°.

（2）sin＝sin＝sin

＝sin＝sin.

因为0<<<，函数y＝sinx在区间上是增函数，所以sin

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．函数y＝sinx，x∈，则y的范围是（　　）

A．[－1，1]　　　　　 B．

C． D．

解：

y＝sinx的图象如图所示，因为x∈，所以由图知y∈.

【答案】　B

2．函数y＝cos的奇偶性是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

解：

因为y＝cos＝sinx，所以为奇函数．

【答案】　A

3．y＝sinx－|sinx|的值域是（　　）

A．[－1，0] B．[0，1]

C．[－1，1] D．[－2，0]

解：

y＝因此函数的值域为[－2，0]．故选D．

【答案】　D

4．下列关系式中正确的是（　　）

A．sin11°

B．sin168°

C．sin11°

D．sin168°

解：

由诱导公式，得cos10°＝sin80°，sin168°＝sin（180°－12°）＝sin12°，由正弦函数y＝sinx在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin11°

即sin11°

【答案】　C

5．函数f（x）＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是（　　）

A． B．

C． D．

解：

令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，

又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，故选D．

【答案】　D

二、填空题

6．函数f（x）＝3sin在区间上的值域为________.

解：

由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，即－≤3sin≤3.

【答案】　

7．若已知f（x）是奇函数，且当x>0时，f（x）＝sin2x＋cosx．则x<0时，f（x）＝__________．

解：

当x<0时，－x>0，∴f（－x）

＝sin（－2x）＋cos（－x），

∴f（－x）＝－sin2x＋cosx.

∵f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－[－sin2x＋cosx]＝sin2x－cosx.

【答案】　sin2x－cosx

三、解答题

8．求下列函数的值域

（1）y＝2sin，x∈；

（2）f（x）＝1－2sin2x＋2cosx.

解：

（1）∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，

∴0≤sin≤1，∴0≤2sin≤2，

∴原函数的值域为[0，2]．

（2）f（x）＝1－2sin2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2－，

∴当cosx＝－时，f（x）min＝－，

当cosx＝1时，f（x）max＝3，

∴该函数值域为.

9．已知函数f（x）＝2cos.

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）求f（x）的单调递增区间．

解：

（1）由已知f（x）＝2cos

＝2cos，

则T＝＝4π.

（2）当2kπ－π≤－≤2kπ（k∈Z），

即4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z）时，

函数f（x）单调递增，

∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

[能力提升]

1．（2016·安庆期末）关于函数f（x）＝4sin

（x∈R），有下列命题：

①函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos；

②函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；

③函数y＝f（x）的图象关于点对称；

④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称．

其中正确的是（　　）

A．②③ B．①③

C．①④ D．②④

解：

函数f（x）的最小正周期为π，故②错；

f（x）＝4sin＝4cos

＝4cos＝4cos，

故①正确；

由f＝4sin＝0，

知函数y＝f（x）的图象关于点对称，

不关于直线x＝－对称，

故③正确，④错误．

【答案】　B

2．（2016·常州高一检测）若函数f（x）＝sinωx（0<ω<2）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．

解：

根据题意知f（x）在x＝处取得最大值1，

∴sin＝1，

∴＝2kπ＋，k∈Z，

即ω＝6k＋，k∈Z.

又0<ω<2，∴ω＝.

【答案】　

3．设函数f（x）＝asin＋b.

（1）若a>0，求f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值．

解：

（1）由于a>0，

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f（x）的单调递增区间是，k∈Z.

（2）当x∈时，≤2x＋≤，

则≤sin≤1，

由f（x）的值域为[1，3]知：

⇔

或⇔

综上得：

或

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