高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1).doc
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解三角形导学案
一、知识点复习
1、正弦定理及其变形
2、正弦定理适用情况:
(1)已知两角及任一边
(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)
已知a,b和A,求B时的解的情况:
如果sinA≥sinB,则B有唯一解;如果sinA如果sinB=1,则B有唯一解;如果sinB>1,则B无解.
3、余弦定理及其推论
4、余弦定理适用情况:
(1)已知两边及夹角;
(2)已知三边。
5、常用的三角形面积公式
(1);
(2)(两边夹一角);
6、三角形中常用结论
(1)
(2)
(3)在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
二、典型例题
题型1
边角互化
[例1]在中,若,则角的度数为
【解析】由正弦定理可得a:
b:
c=3:
5:
7,,令a、b、c依次为3、5、7,则cosC===因为,所以C=
题型2三角形解的个数
[例3]在中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【】
A、,,; B、,,;
C、,,; D、,,。
题型3面积问题
[例4]的一个内角为120°,并且三边构成公差为4的等差数列,则的面积为
【解析】设△ABC的三边分别:
x-4、x、x+4,
∠C=120°,∴由余弦定理得:
﹙x+4﹚²=﹙x-4﹚²+x²-2×﹙x-4﹚×x×cos120°,解得:
x=10
∴△ABC三边分别为6、10、14。
题型4判断三角形形状
[例5]在中,已知,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一:
由正弦定理,即知
由,得或
即为等腰三角形或直角三角形
方法二:
同上可得
由正、余弦定理,即得:
即
或
即为等腰三角形或直角三角形
【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状;(角化边)
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。
(边化角)
题型5正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在中,分别为角A,B,C的对边,且且
(1)当时,求的值;
(2)若角B为锐角,求p的取值范围。
【解析】
(1)由题设并由正弦定理,得,解得,或
(2)由余弦定理,=
即,因为,所以,由题设知,所以
三、课堂练习:
1.在中,若则角C=
2.设是外接圆的半径,且,试求面积的最大值。
3、在中,D为边BC上一点,BD=33,,,求AD。
4.在中,已知分别为角A,B,C的对边,若,试确定形状。
5.在中,分别为角A,B,C的对边,已知
(1)求;
(2)若求的面积。
四、课后作业
1、在中,若,且,则是
A、等边三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、△ABC中若面积S=则角C=
3
4、的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
5、在中,分别为角A,B,C的对边,且满足
(1)求角C的大小
(2)求的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小。
4