直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题.doc

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直线与圆、圆与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离无交点；

2、直线与圆相切有一个交点（切点）；

3、直线与圆相交有两个交点；

二、切线的判定定理与性质

（1）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：

经过切点的半径垂直于圆的切线

经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）

①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？

相交？

相离？

解题思路：

作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°  ∴

在中，∠C=45°

∴CD=AD  

∵BC=6cm  ∴

∴

∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？

如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

解题思路：

（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．

由已知易得：

∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：

BC=BD=10

解：

（1）CD与⊙O相切

理由：

①C点在⊙O上（已知）

②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°

综上：

CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°

∴BC=BD=10

∴AB=20，∴r=10

答：

（1）CD是⊙O的切线，

（2）⊙O的半径是10．

三、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：

∵、是的两条切线

∴平分

（证明）

四、圆幂定理

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：

在⊙中，∵弦、相交于点，

∴（相似）

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：

在⊙中，∵直径，

∴

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：

在⊙中，∵是切线，是割线

∴

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：

在⊙中，∵、是割线

∴

五、三角形的内切圆

（1）定义：

与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）

（2）内心、外切三角形

例1：

如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于 （  ）

1、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．

六、圆与圆的位置关系

外离（图1）无交点；

外切（图2）有一个交点；

相交（图3）有两个交点；

内切（图4）有一个交点；

内含（图5）无交点；

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1）

（2）

解题思路：

要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

解：

∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，

求：

（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

（1）

（2）

（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

解题思路：

（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．

解：

如图2所示，

（1）作法：

以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm

（2）作法：

以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

_

A

_

y

_

x

_

O

（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答

（1）AB=5>1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，

①设⊙B与⊙A外切，则=│x+2│+1，

当x>－2时，=x+3，平方化简得：

x=0符题意，∴B（0，0），

当x<－2时，=－x－1，化简得x=4>－2（舍），

②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│－1，

当x>－2时，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），

当x<－2时，=－x－3，得x=0，

七、两圆公共弦定理：

两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：

垂直平分。

即：

∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

八、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：

中，；

（2）外公切线长：

是半径之差；内公切线长：

是半径之和。

九、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：

；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

基础训练

1．填表：

直线与圆的

位置关系

图形

公共点

个数

公共点

名称

圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系

直线的

名称

相交

相切

相离

2．若直线a与⊙O交于A，B两点，O到直线a的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为_____．

3．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，5，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．

4．⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．内含

5．下列判断正确的是（）

①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．

A．①②③B．①②C．②③D．③

6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．相交或相切

7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？

8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=4cm，AB=4cm，若以O为圆心，再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？

这个圆与AB的位置关系如何？

◆提高训练

9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是_______．

10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．

11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？

12．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示．

（1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？

（2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？

13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么:

（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；

（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；

（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．

14．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？

若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．

九年级下册直线和圆的位置关系练习题

一、选择题：

1．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）

A．8 B．4 C．9．6 D．4．8

3．⊙O内最长弦长为，直线与⊙O相离，设点O到的距离为，则与的关系是（）

A．= B．＞ C．＞ D．＜

4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是（）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定

7．下列四边形中一定有内切圆的是（）

A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形

8．已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（）

A．三条中线交点 B．三条高的交点C．三条角平分线交点 D．三条边的垂直平分线的交点

9．给出下列命题：

①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；

②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；

③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；

④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．

其中真命题共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、证明题

1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：

CD是⊙O的切线．

2．已知：

如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：

CD是小圆的切线．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．

（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？

（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？

⊙C与AB相切？

4．如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．

6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．

（1）由这些条件，你能得出哪些结论？

（要求：

不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）

（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？

并画出图形．（要求：

写出6个结论即可，其他要求同

（1））

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？

8．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？

（要求说明理由）

9．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？

答案:

一.1-5ADCBB;6-9CDDB

二.1.提示:

连结OC,证△AOC与△BOC全等

2.作垂直证半径,弦心距相等

3.①垂直三角形的高,用面积方法求;②△AOE∽△ABC即可

4.用角平分线定理证明EF=EA=EB即可

5.做三角形的内切圆

6.①DE与⊙O相切,AB=BC,DE2+CE2=CD2,∠C+∠CDE=90°

②BC是⊙O的切线,有DE=1/2AB等.

7.R=2.4或3

8.∠A角平分线与BC的交点为圆心O,O到AC的距离为半径做圆

9.4