指数与对数运算及大小比较教案.doc

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指数、对数及其运算

知识点：

1．根式的概念

一般地，如果，那么叫做的次方根。

的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。

2．分数指数幂

规定：

（1）零指数幂

（2）负整数指数幂

（3）正分数指数幂；

（4）负分数指数幂

（5）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

3．有理指数幂的运算性质

（1）· ；

（2） ；

（3） ．

（4）

（5）当是奇数时，

当是偶数时，

4.无理指数幂

一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

5．对数的概念

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：

—底数，—真数，—对数式

两个重要对数：

常用对数（commonlogarithm）：

以10为底的对数；

自然对数（naturallogarithm）：

以无理数为底的对数的对数．

6.对数式与指数式的互化

对数式 指数式

对数底数 ← →幂底数

对数 ← →指数

真数 ← →幂

7.对数的性质

（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零：

；

（3）底数的对数是1：

；

（4）对数恒等式：

；

（5）．

8.对数的运算性质

如果，且，，，那么：

·＋；

－；

．

9.换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式可推导下面的结论

（1）对数的降幂公式：

；

（2）

“六法”比较指数幂大小

　　对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．

1．转化法

例1　比较与的大小．

解：

∵，

　　∴．

　　又∵，

　　∴函数在定义域上是减函数．

　　∴，即．

评注：

在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．

２．图象法

例2　比较与的大小．

解：

设函数与，则这两个函数的图象关系如图．

当，且时，；当，且时，；当时，．

评注：

对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

3．媒介法

例3　比较，，的大小．

解：

∵，

∴．

评注：

当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．

４．作商法

例４　比较与（）的大小．

解：

∵，

又∵，∴，．

∴，即．∴．

评注：

当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．

5．作差法

例5　设，，且，试比较与的大小．

解：

．

（1）当时，∵，∴．

　又∵，，从而．

∴．∴．

（2）当时，∵，即．

又∵，∴，，故．

∴．∴．

综上所述，．

评注：

作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．

　6．分类讨论法

　　例6　比较与（，且）的大小．

　　分析：

解答此题既要讨论幂指数与的大小关系，又要讨论底数与１的大小关系．

　　解：

（１）令，得，或．

　　①当时，由，

　　从而有；

　　②当时，．

（2）令，得，．

　　（3）令，得．

　　①当时，由，

　　从而有；

　　②当时，．

　　评注：

分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．