上海高三一模2013嘉定数学(文科).doc
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2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．
3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若（为虚数单位），则___________．
2．已知集合，，
则_____________．
3．函数的最小正周期是___________．
4．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
开始
结束
输出
是
否
5．在等差数列中，，从第项开始为正数，
则公差的取值范围是__________________．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的的
值为_____________．
[来源:
学*科*网]（第6题图）
7．小王同学有本不同的语文书和本不同的英语书，从中任取本，则语文书和英语书各有本的概率为_____________（结果用分数表示）。
8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________．
9．动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．
10．在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．
11．已知点，，，其中为正整数，设表示△的面积，则___________．
12．给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为______．
13．设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是________________．
14．在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，（），，当数列的周期为时，则的前项的和________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知，条件：
，条件：
，则是的…………………（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
16．以下说法错误的是……………………………………………………………………（）[来源:
学科网]
A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是
B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是
C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是
D．空间两条直线所成角的取值范围是
17．设函数是偶函数，当时，，则}等于…（）
A．或B．或
C．或D．或
18．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，，．有四个命题：
①若，则点、一定在直线的同侧；②若，则点、一定在直线的两侧；
③若，则点、一定在直线的两侧；④若，则点到直线的距离大于点到直线的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……………………（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
设复数，其中，，为虚数单位．若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，在三棱锥中，底面，，．
（1）求三棱锥的体积；
P
A
B
C
（2）求异面直线与所成角的大小．
[来源:
Zxxk.Com]
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．
（1）设动点满足，求点的轨迹；
x
O
M
B
N
y
A
T
F
·
（2）若，，求点的坐标．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）写出一个正整数，使得是数列的项；
（3）设数列的通项公式为，问：
是否存在正整数和（），使得，，成等差数列？
若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，函数．
（1）当时，写出函数的单调递增区间（不必证明）；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）设，函数在区间上既有最小值又有最大值，请分别求出、的取值范围（用表示）．
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．2．3．4．
5．6．7．8．
9．10．11．12．
13．14．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A16．C17．D18．B
三．解答题
19．（本题满分12分）
方程的根为．………………（3分）
因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）
所以，解得，因为，所以，……（8分）
所以，所以，故．…………（11分）
所以，．…………（12分）
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）因为底面，所以三棱锥的高，…………（3分）
所以，．…………（6分）
（2）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（2分）
G
P
A
B
C
F
E
连结，则，……（3分）
，…………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）
[来源:
Zxxk.Com]
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）由已知，，，…………（1分）设，……（2分）
由，得，…（5分）
化简得，．所以动点的轨迹是直线．……（6分）
（2）将和代入得，，……（1分）
解得，……（2分）
因为，，所以，．…………（3分）
所以，．…………（4分）
又因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为．……（5分）
由，…………（6分）
解得．…………（7分）
所以点的坐标为．……（8分）
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有，……（2分）
解得，，…………（3分）
所以的通项公式为（）．…………（4分）
（2）当时，，所以．……（1分）
由，得，两式相减，得，
故，……（2分）
所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．……（3分）
，…………（4分）
要使是中的项，只要即可，可取．…………（6分）
（只要写出一个的值就给分，写出，，也给分）
（3）由
（1）知，，…………（1分）
要使，，成等差数列，必须，即
，…………（2分）
化简得．…………（3分）
因为与都是正整数，所以只能取，，．…………（4分）
当时，；当时，；当时，．…………（5分）[来源:
学科网]
综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：
，，．…………（6分）
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当时，，…………（2分）
所以，函数的单调递增区间是和．…………（4分）
（2）因为，时，
．…………（1分）
当，即时，．…………（3分）
当，即时，．…………（5分）
所以，．…………（6分）
O
x
y
（3）．…………（1分）
①当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（1分）
O
x
y
所以，．……（4分）
②当时，函数的图像如图所示，
由解得，……（5分）
所以，，．……（8分）
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