上海高考文科数学试题详解.doc

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2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题（文科）详解

满分150分;考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数的最小正周期是．

考点：

三角恒等变形、三角函数的周期

解答：

因为，所以.

难度：

容易题

2．若复数，其中是虚数单位，则．

考点：

复数的四则运算，共轭运算

解答：

此题先根据分配律去括号可简化计算，即

难度：

容易题

3．设常数，函数．若，则．

考点：

解方程、求函数值

解答：

由

难度：

容易题

4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．

考点：

圆锥曲线的标准方程

解答：

知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：

难度：

容易题

5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．

考点：

分层抽样

解答：

高一、高二共有学生2800名，按40：

1的比例，需抽取学生数为70人。

难度：

容易题

6．若实数满足，则的最小值为．

考点：

基本不等式

解答：

，即

难度：

容易题

7．若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．

考点：

圆锥的侧面展开图

解答：

如图：

难度：

容易题

8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．

考点：

三视图

解答：

由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个

长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.

难度：

容易题

9．设若是的最小值，则的取值范围为．

考点：

函数的单调性及最值

解答：

难度：

中等题

10．设无穷等比数列的公比为，若，则．

考点：

无穷等比数列各项的和

解答：

难度：

中等题

11．若，则满足的的取值范围是．

考点：

幂函数的单调性

解答：

∴其定义域为

又是增函数，是减函数，是增函数，

又，，即为，

难度：

中等题

12．方程在区间上的所有的解的和等于．

考点：

三角方程

解答：

难度：

中等题

13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）．

考点：

组合、概率

解答：

未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为

难度：

中等题

14．已知曲线，直线．若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为．

考点：

圆的方程、能成立问题

解答：

∵曲线，即，∵，∴点即为中点；设，∵，则，

∵点在曲线C上，∴

难度：

较难题

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．设，则“”是“且”的（）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件

考点：

充分条件、必要条件

解答：

必要非充分条件，选B

难度：

容易题

16．已知互异的复数满足，集合，则（）

（A） （B）（C） （D）

考点：

集合的相等、复数范围内1的立方根

解答：

⑴若则（舍）；⑵若则，

那么（舍）或（舍）或或

综合上述，.选D

难度：

中等题

17．如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（）

（A） （B）（C） （D）

考点：

向量的数量积、向量的投影

解答：

结合图形，观察在上的投影即可：

在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C

难度：

中等题

18．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）

（A）无论如何，总是无解 （B）无论如何，总有唯一解

（C）存在，使之恰有两解 （D）存在，使之有无穷多解

考点：

直线的方程、二元一次方程的行列式解法

解答：

把代入直线得，即.

同理可得.则是方程组的解.

若不是方程组的唯一解，

则方程组有无数解则，与已知矛盾

综上，方程组总有唯一解，选B.

难度：

较难题

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．

考点：

棱锥的体积、空间想象能力

解答：

依题意：

是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.

设顶点在底面内的投影为，连接，则

为的重心，底面.

难度：

容易题

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设常数，函数．

（1）若，求函数的反函数；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

考点：

反函数、函数的奇偶性

解答：

（1）因为，所以，得或，且．

因此，所求反函数为．

（2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数；

②当时，，定义域为，

，故函数为奇函数；

③当且时，定义域为关于原点不对称，

故函数既不是奇函数，也不是偶函数．

难度：

容易题

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．

（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．

考点：

解斜三角形

解答：

（1）设，则.因，所以，即，（米）

（2）在中，由已知，，，

由正弦定理得，解得（米）．

在中，由余弦定理得，解得（米）．所以，的长约为26.93米．

难度：

中等题

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

在平面直角坐标系中，对于直线和点，记

．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．

（1）求证；点被直线分隔；

（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；

（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．

考点：

定义法求曲线方程、数形结合思想

解答：

（1）证明：

因为，所以点被直线分隔．

（2）解：

直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是．

（3）证明：

设的坐标为，则曲线的方程为．

对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．

又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．所以轴为曲线的分隔线．

难度：

中等题

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知数列满足，，．

（1）若，求的取值范围；

（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；

（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．

考点：

等差数列、等比数列与不等式综合

解答：

（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．

（2）设的公比为．由，且，得．

因为，所以．从而，，解得．

时，．所以，的最小值为，时，的公比为．

（3）设数列的公差为．由，得，．

①当时，，所以，即．

②当时，，符合条件．

③当时，，所以，，又，所以．

综上，的公差的取值范围为．

难度：

较难题