《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc

《《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：

解一元二次不等式

例1.解下列一元二次不等式

（1）；

（2）；（3）

思路点拨:

转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

解析：

（1）方法一：

因为

所以方程的两个实数根为：

，

函数的简图为：

因而不等式的解集是.

方法二：

或

解得或，即或.

因而不等式的解集是.

（2）方法一：

因为，

方程的解为.

函数的简图为：

所以，原不等式的解集是

方法二：

（当时，）

所以原不等式的解集是

（3）方法一：

原不等式整理得.

因为，方程无实数解，

函数的简图为：

所以不等式的解集是.

所以原不等式的解集是.

方法二：

∵

∴原不等式的解集是.

总结升华：

1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【变式1】解下列不等式

（1）；

（2）

（3）；（4）.

【答案】

（1）方法一：

因为

方程的两个实数根为：

，

函数的简图为：

因而不等式的解集是：

.

方法二：

∵原不等式等价于,

∴原不等式的解集是：

.

（2）整理，原式可化为,

因为,

方程的解，，

函数的简图为：

所以不等式的解集是.

（3）方法一：

因为

方程有两个相等的实根：

，

由函数的图象为：

原不等式的的解集是.

方法二：

∵原不等式等价于：

∴原不等式的的解集是.

（4）方法一：

因为，方程无实数解，

由函数的简图为：

原不等式的解集是.

方法二：

∵，

∴原不等式解集为.

【变式2】解不等式：

【答案】原不等式可化为不等式组

，即，即，

解得

∴原不等式的解集为.

类型二：

已知一元二次不等式的解集求待定系数

例2.不等式的解集为，求关于的不等式的解集。

思路点拨:

由二次不等式的解集为可知：

4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.

解析：

由题意可知方程的两根为和

由韦达定理有，

∴，

∴化为，即

，解得，

故不等式的解集为.

总结升华：

二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。

举一反三：

【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3

【答案】由不等式的解集为{x|-3

由根与系数关系得

解得a=-2,b=-2。

【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.

【答案】由韦达定理有：

，，∴,.

∴代入不等式得，

即，，解得，

故不等式的解集为：

.

【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.

【答案】由韦达定理有：

，解得,代入不等式得

，即，解得或.

∴的解集为：

.

类型三：

二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

例3．已知关于x的不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

思路点拨:

不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

解析：

（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5

若m=1，则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意。

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。

（2）当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，

由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3开口向上，且与x轴无交点，

所以，

即，∴1

综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}。

总结升华：

情况

（1）是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。

举一反三：

【变式1】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.

【答案】关于的不等式的解集为空集

即的解集为R

当时，原不等式为：

，即，不符合题意，舍去.

当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，

即，解得，

综上，的取值范围为：

.

【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.

【答案】当时，原不等式为：

，即，不符合题意，舍去.

当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，

即，解得，

综上，的取值范围为：

.

【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.

【答案】当时，原不等式为：

，即，符合题意.

当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意

当时，只需，

即，解得，

综上，的取值范围为：

.

类型四：

含字母系数的一元二次不等式的解法

例4．解下列关于x的不等式

（1）x2-2ax≤-a2+1；

（2）x2-ax+1>0；

（3）x2-（a+1）x+a<0；

解析：

（1）

∴原不等式的解集为。

（2）Δ=a2-4

当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为

当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。

当Δ<0，即-2

（3）（x-1）（x-a）<0

当a>1时，原不等式的解集为{x|1

当a<1时，原不等式的解集为{x|a

当a=1时，原不等式的解集为。

总结升华：

对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：

对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：

求相应方程的根。

当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

③定解：

根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【答案】原不等式化为

①a=1或a=-1时，解集为Æ；

②当0

；

③当a>1或-1

。

【变式2】解关于的不等式：

（）

【答案】

当a＜0或a＞1时，解集为；

当a=0时，解集为；

当0＜a＜1时，解集为；

当a=1时，解集为；

例5．解关于x的不等式：

ax2－（a+1）x+1＜0。

解析：

若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；

若a＜0，原不等式或x＞1；

若a＞0，原不等式，

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

（1）当a=1时，原不等式；

（2）当a＞1时，原不等式；

（3）当0＜a＜1时，原不等式

综上所述：

当a＜0，解集为；

当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；

当a=1时，解集为；

当a＞1时，解集为。

总结升华：

熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

（ax-1）（x-2）≥0；

【答案】当a=0时，x∈（-¥,2].

当a≠0时，方程（ax-1）（x-2）=0两根为

①当a>0时，

若，即时，；

若，即时，x∈R；

若，即时，.

②当a<0时，则有：

，∴。

【变式2】解关于x的不等式：

ax2＋2x-1<0；

【答案】当a=0时，.

当a≠0时，Δ=4+4a=4（a+1），

①a>0时，则Δ>0，.

②a<0时，

若a<0，△<0，即a<-1时，x∈R；

若a<0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1；

若a<0，△>0，即-1

【变式3】解关于x的不等式：

ax2-x+1>0

【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；

若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.

方程的判别式△=1-4a

（Ⅰ）当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，

故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为实数集R；

（Ⅱ）当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，

故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点（2，0），其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

（Ⅲ）当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根

，，

①当时，函数的图象开口向上，

与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

②当a<0时，函数的图象开口向下，

与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；

综上所述：

a<0时，原不等式解集为；

a=0时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为实数集R.