高考数学复习讲练函数的奇偶性.doc

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个性化教学辅导教案

学科：

数学任课教师：

叶雷授课时间：

2011年月日（星期）:

~:

姓名

阳丰泽

年级

高三

性别

男

教学课题

函数的奇偶性

教学

目标

函数的奇偶性也是函数的一个重要的性质，在高考试题中有关函数奇偶性的试题屡见不鲜。

重点

难点

课前检查

作业完成情况：

优□良□中□差□建议__________________________________________

第讲函数的奇偶性

知识点：

函数的奇偶性

请同学们观察图形，说出函数和的图象各有怎样的对称性？

1.奇函数：

对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称

f（x）为奇函数.

2.偶函数：

对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称

f（x）为偶函数.

3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.

（4）奇函数的反函数也为奇函数.

（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

4．方法与技巧

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.

2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）.

说明：

在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。

【例2】已知函数若，求的值.

【例3】已知f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并加以证明.

【例4】（2002全国文，20）设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R.

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）求函数f（x）的最小值.

【评述】因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词.f（－x）与f（x）要同时有意义，f（x）与f（－x）要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.

【例5】设a＞0，f（x）＝是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

【评述】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识。

1．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

A.B.C.D.

2．函数y＝f（x）的图像与函数g（x）＝log2x（x＞0）的图像关于原点

对称，则f（x）的表达式为（　　　　）

A.f（x）＝（x＞0）B.f（x）＝log2（－x）（x＜0）C.f（x）＝－log2x（x＞0）D.f（x）＝－log2（－x）（x＜0）

3．定义在区间（－∞，＋∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是（）

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）;②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）;④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④

4．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____.

5．已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.

课后小结：

课堂检测

听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________.

测试题（累计不超过20分钟）_______道；成绩_______；

教学需:

加快□;保持□;放慢□;增加内容□

课后巩固

作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________

签字

教学组长签字：

学习管理师:

老师

课后

赏识

评价

老师最欣赏的地方：

老师想知道的事情：

老师的建议：

课后练习

函数的奇偶性

1．定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）;②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）;④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

2．函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是（　　）

A.增函数 B.减函数　　　C.先增后减的函数 D.先减后增的函数

3．已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是

A.奇函数 B.偶函数　　C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数

4．定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，如果f（x）=lg（10x＋1），x∈（－∞，＋∞），那么（）

A.g（x）=x，h（x）=lg（10x＋10－x＋2）

B.g（x）=lg［（10x＋1）＋x］，h（x）＝lg［（10x＋1）－x］

C.g（x）＝，h（x）＝lg（10x＋1）－

D.g（x）＝－，h（x）＝lg（10x＋1）＋

5．（2006年辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（　　）

A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数

6．给定函数:

①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.

7．已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________.

8．若f（x）=为奇函数，则实数a的值为　　　　　　　　　.

9．设f（x）=log（）为奇函数，a为常数，

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）x+m恒成立，求实数m的取值范围.

教案《函数的奇偶性》参考答案

【知识讲解】

【例1】

（1）奇函数；

（1）既是奇函数又是偶函数；

（1）非奇非偶函数；

（1）非奇非偶函数；

（1）既是奇函数又是偶函数；

（1）偶函数；

（1）既是奇函数又是偶函数；

（1）奇函数。

【例2】解：

构造函数，则一定是奇函数

又∵，∴，因此所以，即．

【例3】解：

f（x）在（－∞，0）上是增函数，证明如下：

设x1＜x2＜0，因为f（x）为偶函数所以f（－x1）=f（x1），f（－x2）=f（x2） ①

由设可知－x1＞－x2＞0，又f（x）在（0，+∞）上是减函数于是有f（－x1）＜f（－x2） ②

把①代入②得f（x1）＜f（x2）由此可得f（x）在（－∞，0）上是增函数

【例4】解：

（1）f

（2）=3，f（－2）=7，由于f（－2）≠f

（2），f（－2）≠－f

（2），

故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）f（x）=由于f（x）在［2，+∞）上的最小值为f

（2）=3，在（－∞，2）内的最小值为.故函数f（x）在（－∞，+∞）内的最小值为.

【例5】解：

（1）∵f（x）=是R上的偶函数，∴f（x）－f（－x）=0．

∴，

ex－e-x不可能恒为“0”，∴当－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．

（2）在（0，＋∞）上任取x1＜x2，

f（x1）－f（x2）＝

∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1＜0，

∴f（x1）－f（x2）＜0，∴f（x）是在［0，＋∞）上的增函数．

【课堂演练】

1．答案B　　解析：

在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.

2．D

3．答案：

C　解法一：

取适合条件的特殊函数f（x）=x，g（x）=|x|并令a=2，b=1，则给出的4个不等式分别是①3＞1；②3＜1；③3＞－1；④3＜－1.由②不成立，排除B、D，又④不成立，排除A，得C.

解法二：

由题设知，4个不等式分别等价于①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.由于f（x）是奇函数，且定义在（－∞，＋∞）上，所以f（0）=0；于是，由f（x）是增函数与a＞b＞0得不等式①与③成立，故答案为C.

解法三：

如图，显然f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b），

f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a），所以选C.

评述：

本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比较长，兼考阅读、理解能力；题设上给出的两个函数都没有具体的解析式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解.会简化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高.

4．答案：

－1　　解析：

因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1.

5．

【课后练习】

1．解析：

不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：

D

2．解析：

∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：

A

3．解析：

由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：

A

4．解法一：

注意观察四个选项中的每两个函数，容易发现C中g（x）＝为奇函数，且h（－x）=lg（10-x＋1）＋＝lg＋＝lg（10x＋1）－＝h（x）为偶函数，又g（x）+h（x）=

lg（10x＋1）＝f（x），故应选C.

解法二：

由已知有f（x）=g（x）+h（x），则f（－x）=g（－x）+h（－x）=－g（x）+

h（x），所以g（x）=［f（x）－f（－x）］＝lg＝lg10x＝，应选C.

5．【解析】A中则，

即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，

C中，，即函数为奇函数，D中，

，即函数为偶函数，故选择答案D。

【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。

6．答案：

①⑤②③④

7．解析：

当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg=lg（1－x）.

答案：

lg（1－x）

8．解析：

∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－+

a－=0，得a=1.

9．

（1）解：

f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.

∴log=－log=＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.

（2）证明：

任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.

∴0＜＜0＜1+＜1+0＜＜log＞log，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.

7