高考数学模拟文科试卷.doc
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衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷
文科数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。
其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则M∩N=（ ）
A．{3，4，5} B．{x|2＜x＜6} C．{x|3≤x≤5} D．{2，3，4，5}
2.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3.要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
4.已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
5.如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．i≤2014 B．i＞2014 C．i≤2013 D．i＞2013
6.已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（）
A．B．C．D．
7.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是
A． B．－ C．－2 D．4
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）
9.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C．π D．
10.函数的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
12.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为 ．
14.已知抛物线方程为y2=﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4=0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为 ．
15.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为 ．
16.设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为 ．
三.解答题（共8题，共70分）
17.（本题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣7，S8=0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足b1=，bnbn+1=2an，求数列{bn}的通项公式．
18.（本题满分12分）
某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：
秒）如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
11.6
12.2
13.2
13.9
14.0
11．5
13．1
14．5
11.7
14.3
乙
12.3
13.3
14.3
11.7
12.0
12.8
13.2
13.8
14.1
12.5
（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；
（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；
（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间（单位：
秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．
19.（本题满分12分）
如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．
（Ⅰ）求证：
OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：
平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．
20.（本题满分12分）
已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
选做题请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线与曲线C2交于点D（，）．
（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；
（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．
23.已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为，求实数a，m的值；
（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
衡阳八中2017届高三年级第二次质检参考答案文科数学
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
B
A
C
D
A
C
D
D
B
13.
14.﹣1
15.36π
16.8
17.
（Ⅰ）由S8=0得a1+a8=﹣7+a8=0，
∴a8=7，d==2，
所以{an}的前n项和：
Sn=na1+d
=﹣7n+n（n﹣1）=n2﹣8n，
an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9．
（Ⅱ）由题设得bnbn+1=2，bn+1bn+2=2，
两式相除得bn+2=4bn，
又∵b1b2=2=，b1=，
∴b2==2b1，
∴bn+1=2bn，
即{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，
故bn=2n﹣5．
18.
（3）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，如图阴影部分面积即为……………………………………………………10分
所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为…………12分
19.
（Ⅰ）证明：
因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．
因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以OM∥平面ABD．
（Ⅱ）证明：
由题意，OM=OD=3，
因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因为OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD⊂平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．
（Ⅲ）解：
三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．
△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，
所求体积等于．
20.
（Ⅰ）由题意得，得．
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以，
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF2N为平行四边形，
所以AF2⊥BF2，
因为，，
所以．
即，
将其整理为k2=﹣=﹣1﹣
因为，所以，12≤a2＜18．
所以，即．
21.
（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，
∴g′（x）=，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x++1﹣b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+≥2，
x+＜b﹣1有解，
只需要x+的最小值小于b﹣1，
∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，
∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1
∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）
∵0＜x1＜x2，
∴设t=，0＜t＜1，
令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，
则h′（t）=﹣＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，
∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，
∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，
故所求的最小值为﹣2ln2．
22.
（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，
解得：
a=4，b=2．
∴曲线C1的普通方程为=1．
设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D代入得R=1．．
∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）曲线C1的极坐标方程为=+，
将A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）代入可得：
=+，=+．
∴+=+=．
23.
（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，
当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．
当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．
当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，
故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．
23.
（Ⅰ）∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴，解得a=2，m=3．
（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞，]．
14
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