高三数学专题总复习.doc
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高考数学
复习专题
1
专题一集合、逻辑与不等式
集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．
关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．
§1－1集合
【知识要点】
1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．
2．集合常用的两种表示方法：
列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法（韦恩图），一些数集也可以用区间的形式表示．
3．两类不同的关系：
（1）从属关系——元素与集合间的关系；
（2）包含关系——两个集合间的关系（相等是包含关系的特殊情况）．
4．集合的三种运算：
交集、并集、补集．
【复习要求】
1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：
数集和点集．
2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．
3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．
4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．
【例题分析】
例1给出下列六个关系：
（1）0∈N*
（2）0{－1，1}（3）∈{0}
（4）{0}（5）{0}∈{0，1}（6）{0}{0}
其中正确的关系是______．
解答：
（2）（4）（6）
【评析】1．熟悉集合的常用符号：
不含任何元素的集合叫做空集，记作；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．
2．明确元素与集合的关系及符号表示：
如果a是集合A的元素，记作：
a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：
aA．
3．明确集合与集合的关系及符号表示：
如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：
AB或BA．
如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．AB或BA．
4．子集的性质：
①任何集合都是它本身的子集：
AA；
②空集是任何集合的子集：
A；
提示：
空集是任何非空集合的真子集．
③传递性：
如果AB，BC，则AC；如果AB，BC，则AC．
例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件（UA）∩（UB）＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩（UA）＝{4，6，8}．求集合A，B．
解：
根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，
图1－1
于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．
故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．
【评析】1、明确集合之间的运算
对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：
A∩B．
对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：
A∪B．
如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作UA．
2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．
例3设集合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数a的取值范围是______．
答：
（－∞，－1]．
【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．
例4设a，b∈R，集合，则b－a＝______．
【分析】因为，所以a＋b＝0或a＝0（舍去，否则没有意义），
所以，a＋b＝0，＝－1，所以－1∈{1，a＋b，a}，a＝－1，
结合a＋b＝0，b＝1，所以b－a＝2．
练习1－1
一、选择题
1．给出下列关系：
①；②Q；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．下列各式中，A与B表示同一集合的是（）
（A）A＝{（1，2）}，B＝{（2，1）} （B）A＝{1，2}，B＝{2，1}
（C）A＝{0}，B＝ （D）A＝{y｜y＝x2＋1}，B＝{x｜y＝x2＋1}
3．已知M＝{（x，y）｜x＞0且y＞0}，N＝{（x，y）｜xy＞0}，则M，N的关系是（）
（A）MN （B）NM （C）M＝N （D）M∩N＝
4．已知全集U＝N，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，则下式中正确的关系是（）
（A）U＝A∪B （B）U＝（UA）∪B （C）U＝A∪（UB） （D）U＝（UA）∪（UB）
二、填空题
5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．
6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．
7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则（UA）∩B＝______.
8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算为：
aiaj＝ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式（xx）a2＝a0的x（x∈S）的个数为______．
三、解答题
9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求（A∩B）∪C．
10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，（UA）∩B＝{4，6，8}，（UA）∩（UB）＝{1，9}，求集合A和B．
11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，
①A∩B≠，求实数a的取值范围；
②A∩B≠A，求实数a的取值范围；
③A∩B≠，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
§1－2常用逻辑用语
【知识要点】
1．命题是可以判断真假的语句．
2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．
可以利用真值表判断复合命题的真假．
3．命题的四种形式
原命题：
若p则q．逆命题：
若q则p．否命题：
若p，则q．逆否命题：
若q，则p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．
4．充要条件
如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．
如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．
5．全称量词与存在量词
【复习要求】
1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【例题分析】
例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
（1）p：
0∈N，q：
1N；
（2）p：
平行四边形的对角线相等，q：
平行四边形的对角线相互平分．
解：
（1）p∨q：
0∈N，或1N；
p∧q：
0∈N，且1N；p：
0N．
因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．
（2）p∨q：
平行四边形的对角线相等或相互平分．
p∧q：
平行四边形的对角线相等且相互平分．
p：
存在平行四边形对角线不相等．
因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．
【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．
例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
（1）若a2＋b2＝0，则ab＝0；
（2）若A∩B＝A，则AB．
解：
（1）逆命题：
若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．
否命题：
若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．
逆否命题：
若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．
（2）逆命题：
若AB，则A∩B＝A；是真命题．
否命题：
若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．
逆否命题：
若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．
评述：
原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．
例3指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：
（x－2）（x－3）＝0；q：
x＝2；
（2）p：
a≥2；q：
a≠0．
【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；
若pq且qp，p与q互为充要条件．
于是可得
（1）中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．
（2）中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．
【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．
例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的（）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）非充分条件也非必要条件
解：
条件p：
x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：
x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．
又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．
【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：
设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．
例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）
（A）不存在x∈R，x3－x2＋1≤0， （B）存在x∈R，x3－x2＋1≤0
（C）存在x∈R，x3－x2＋1＞0 （D）对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”
答：
选C．
【评析】注意全（特）称命题的否定是将全称量词改为存在量词（或将存在量词改为全称量词），并把结论否定．
练习1－2
一、选择题
1．下列四个命题中的真命题为（）
（A）x∈Z，1＜4x＜3 （B）x∈Z，3x－1＝0
（C）x∈R，x2－1＝0 （D）x∈R，x2＋2x＋2＞0
2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么（）
（A）q一定是真命题 （B）q不一定是真命题
（C）p不一定是假命题 （D）p与q的真假相同
3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的（）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：
“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为（）
（A）若x∈A但xB，则称A不是B的子集
（B）若x∈A但xB，则称A不是B的子集
（C）若xA但x∈B，则称A不是B的子集
（D）若xA但x∈B，则称A不是B的子集
二、填空题
5．“p是真命题”是“p∨q是假命题的”__________________条件．
6．命题“若x＜－1，则｜x｜＞1”的逆否命题为_________．
7．已知集合A，B是全集U的子集，则“AB”是“UBUA”的______条件．
8．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①AB对任意x∈A，有xB ②ABA∩B＝
③ABAB ④AB存在x∈A，使得xB
其中真命题的序号是______．（把符合要求的命题序号都填上）
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：
（1）指数函数都是单调函数；
（2）至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；
（3）x∈{x｜x∈Z}，log2x＞0；
（4）
10．已知实数a，b∈R．试写出命题：
“a2＋b2＝0，则ab＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．
§1－3不等式（含推理与证明）
【知识要点】
1．不等式的性质．
（1）如果a＞b，那么b＜a；
（2）如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；
（3）如果a＞b，那么a＋c＞b＋c（如果a＋c＞b，那么a＞b－c）；
（4）如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
（5）如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；
（6）如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；
（7）如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N＋，n＞1）；
（8）如果a＞b＞0，那么；
2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：
若a∈R，则．
3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．
4．均值定理：
如果a、b∈R＋，那么当且仅当a＝b时，式中等号成立．
其他常用的基本不等式：
如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab，（a－b）2≥0．
如果a、b同号，那么
5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．
【复习要求】
1．运用不等式的性质解决以下几类问题：
（1）根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；
（2）利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；
（3）利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系．
2．熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．
3．了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题．熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系．
比较法：
常有“作差比较法”和“作商比较法”；
综合法：
从已知推导致结果的思维方法；
分析法：
从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；
反证法：
由证明pq转向证明qr…t，而t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，进而推出q为真的方法，叫做反证法．
一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写．
【例题分析】
例1若a＞b＞c，则一定成立的不等式是（）
A．a｜c｜＞b｜c｜ B．ab＞ac C．a－｜c｜＞b－｜c｜ D．
【分析】关于选项A．当c＝0时，a｜c｜＞b｜c｜不成立．
关于选项B．当a＜0时，ab＞ac不成立．
关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a－｜c｜＞b－｜c｜，正确．
关于选项D．当a＞b＞0＞c时，不成立．所以，选C．
例2a，b∈R，下列命题中的真命题是（）
A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜ B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a3＞b3 D．若a＞b，则
【分析】关于选项A．当a＝－1，b＝－2时，｜a｜＞｜b｜不成立．
关于选项B．当a＞0，b＜0时，不成立．
关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a3＞b3，正确．
关于选项D．当b＜0时，不成立．所以，选C．
【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．
判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．
判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明（或说明），就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．
例3解下列不等式：
（1）x2－x－1＞0；
（2）x2－3x＋2＞0；（3）2x2－3x＋1≤0；
（4）（5）｜2x－1｜＜3；（6）
解：
（1）方程x2－x－1＝0的两个根是结合函数y＝x2－x－1的图象，可得不等式x2－x－1＞0的解集为
（2）不等式x2－3x＋2＞0等价于（x－1）（x－2）＞0，
易知方程（x－1）（x－2）＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，
结合函数y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式x2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞2}．
（3）不等式2x2－3x＋1≤0等价于（2x－1）（x－1）≤0，以下同
（2）的解法，
可得不等式的解集为
（4）等价于（x－1）（x－2）＞0，以下同
（2）的解法，可得不等式的解集为{x｜x＜1或x＞2}．
（5）不等式｜2x－1｜＜3等价于－3＜2x－1＜3，所以－2＜2x＜4，即－1＜x＜2，所以不等式｜2x－1｜＜3的解集为{x｜－1≤x＜2}．
（6）不等式可以整理为
等价于以下同（4）的解法，可得不等式的解集为{x｜－1≤x＜2}．
【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．
1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．
2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．
所以，解一元二次不等式的步骤为：
计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根（或根据判别式说明无根）；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．
3、不等式与（x－a）（x－b）＞0同解；不等式与（x－a）（x－b）＜0同解；
4*、不等式｜f（x）｜＜c与－c＜f（x）＜c同解；不等式｜f（x）｜＞c与“f（x）＞c或f（x）＜－c”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如（5）题关于“≤”号的处理．
例4解下列关于x的不等式；
（1）ax＋3＜2；
（2）x2－6ax＋5a2≤0．
解：
（1）由ax＋3＜2得ax＜－1，
当a＝0时，不等式解集为；
当a＞0时，不等式解集为；
当a＜0时，不等式解集为．
（2）x2－6ax＋5a2≤0等价于不等式（x－a）（x－5a）≤0，
当a＝0时，不等式解集为{x｜x＝0}；
当a＞0时，不等式解集为{x｜a≤x≤5a}；
当a＜0时，不等式解集为{x｜5a≤x≤a}．
【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的．
要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．
如
（2）的解决过程中，当解出方程（x－a）（x－5a）＝0的两根为x1＝a，x2＝5a之后，需要画出二次函数y＝x2－6ax＋5a2的草图，这时两根a与5a的大小不定，需要讨论，当分a＝0，a＞0，a＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a与5a的大小，画出二次函数y＝x2－6ax＋5a2的草图写出解集了．
例5已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0．求证：
证明：
方法一（作差比较）
由已知b－a＜0，c－d＜0，又m＜0，所以m[（b－a）＋（c－d）]＞0，
因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a－c＞0，b－d＞0，
所以，所以
方法二
因为c＜d＜0，所以c－d＜0，
又a＞b＞0，所以a－b＞0，所以a－b＞c－d，所以a－c＞b－d＞0，
所以，又因为m＜0，所以
例6已知a＋b＋c＝0，a＞b＞c，求证：
（1）a＞0；
（2）
证明：
（1）假设a≤0，因为a＞b＞c，所以b＜0，c＜0．
所以a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝0矛盾．
（2）因为b＝－a－c，a＞b，所以，
所以2a＞－c，又a＞0，所以，所以
例7已知a，b，c∈（0，1），求证：
（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一个不大于.
证明：
假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a均大于，
即
因为a，b，c∈（0，1），所以1－a，1－b，1－c∈（0，1），
所以，同理（1－b）＋c＞1，（1－c）＋a＞1，
所以（1－a）＋b＋（1－b）＋c＋（1－c）＋a＞3，即0＞0，矛盾．
所以（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中至少有一个不大于．
【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．
1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．
2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．
比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：
欲证只需证明m（b－d）＞m（a－c）（因为b－d＞0，a－c＞0），即只需证明b－d＜a－c，即只需证明a－b＞c－d，
而由已知a－b＞0，c－d＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．
3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题（如例6
（1））、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题（如例7）等等．
证明的步骤一般是：
（1）假设结论的反面是正确的；
（2）推出矛盾的结论；（3）得出原来命题正确的结论．
例8根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．
【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；
第二个图有2行，每行有2＋2个点；
第三个图有3行，每行有3＋2个点；
……
第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点．
答：
80．
练习1－3
一、选择题
1．若则下列各式正确的是（）
（A）a＞b （B）a＜b （C）a2＞b2 （D）
2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）
（A）a2＜b2 （B）a2b＜ab2 （C） （D）
3．已知A＝{x｜｜x｜＜a}，B＝{x｜x＞1}，且A∩B＝，则a的取值范围是（）
（A）{a｜a≤1} （B）{a｜0≤a≤1} （C）{a｜a＜1} （D）{a｜0＜a＜1}
4．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足：
对任意的Si＝{ai，bi}、Sj＝{aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k}）都有，（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是（）
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
二、填空题
5．已知数列{an}的第一项a1＝1，且，请计算出这个数列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式an＝______．
6．不等式x2－5x＋6＜0的解集为____________．
7．设集合A＝{x∈R｜｜x｜＜4}，B＝{x∈R｜x2－4x＋3＞0}，则集合{x∈R｜x∈A，且xA∩B}＝____________．
8．设a∈R且a≠0，给出下面4个式子：
①a3＋1；②a2－2a＋2；③；④
其中恒大于1的
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