高考数列专题复习专练.doc

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数列专题复习专练

1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

（2）过点Q（1，a），Q（2，a）作直线l，设l与l的夹角为θ，

2．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：

数列是等比数列；

⑵设数列，求证：

数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

3．设a1=1,a2=,an+2=an+1-an（n=1,2,---）,令bn=an+1-an（n=1,2---）求数列{bn}的通项公式，

（2）求数列{nan}的前n项的和Sn。

4．数列中，且满足

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

5．定义“等和数列”：

在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_____，这个数列的前n项和的计算公式为__

6．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+（-1）K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。

（1）求a3,a5；

（2）求{an}的通项公式

7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

8．已知数列满足 求数列的通项公式；

9．已知数列和，设，求数列的前项和．

10．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

11．已知数列的通项公式为＝，设，求．

12．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．

13．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且

，．设（），则数列的前10项和等于（　）

（A）55　　　　（B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）100

14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：

①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．

其中一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号）

15.已知等比数列的前项和为，且．

（1）求、的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

16.已知数列在直线x-y+1=0上．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若函数

求函数f（n）的最小值；

（3）设表示数列{bn}的前n项和．试问:

是否存在关于n的整式g（n），使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?

若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．

17.设数列是等差数列，．

（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；

（Ⅱ）当时，若满足，

使得是等比数列，求数列的通项公式．

18.数列{}的前项和满足：

（1）求数列{}的通项公式；

（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？

若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

19.在等差数列中，，前项和满足，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和．

答案部分

1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．

（2）过点Q（1，a），Q（2，a）作直线l，设l与l的夹角为θ，

证明：

（1）因为等差数列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常数（k=2，3，…，n）．

（2）直线l的方程为y-a=d（x-1），直线l的斜率为d．

2．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：

数列是等比数列；

⑵设数列，求证：

数列是等差数列；

⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：

由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

解：

（1）由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4（a-a），即a=4a-4a．（根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练）

a-2a=2（a-2a），又b=a-2a，所以b=2b　　　①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2（3n-4）+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S=2（3n-4）+2．

3．设a1=1,a2=,an+2=an+1-an（n=1,2,---）,令bn=an+1-an（n=1,2---）求数列{bn}的通项公式，

（2）求数列{nan}的前n项的和Sn。

解：

（I）因

故{bn}是公比为的等比数列，且

（II）由

注意到可得

记数列的前n项和为Tn，则

4．数列中，且满足

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

解：

（1）由题意，，为等差数列，设公差为，

由题意得，.

（2）若，

时，

故

（3）

若对任意成立，即对任意成立，

的最小值是，的最大整数值是7。

即存在最大整数使对任意，均有

5．定义“等和数列”：

在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为__3___，这个数列的前n项和的计算公式为__当n为偶数时，；当n为奇数时，

6．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+（-1）K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…。

（1）求a3,a5；

（2）求{an}的通项公式

解：

（I）a2=a1+（－1）1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+（－1）2=4a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.

（II）a2k+1=a2k+3k=a2k－1+（－1）k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+（－1）k,

同理a2k－1－a2k－3=3k－1+（－1）k－1,a3－a1=3+（－1）.

所以（a2k+1－a2k－1）+（a2k－1－a2k－3）+…+（a3－a1）

=（3k+3k－1+…+3）+[（－1）k+（－1）k－1+…+（－1）],

由此得a2k+1－a1=（3k－1）+[（－1）k－1],

于是a2k+1=a2k=a2k－1+（－1）k=（－1）k－1－1+（－1）k=（－1）k=1.

{an}的通项公式为：

当n为奇数时，an=

当n为偶数时，

7．数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

解：

（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又a2=，所以an=（n≥2）,

∴数列{an}的通项公式为

8．已知数列满足 求数列的通项公式；

解：

是以为首项，2为公比的等比数列．

即　

9．已知数列和，设，求数列的前项和．

解：

，

两式相减得

10．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

解：

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．所以，．

（Ⅱ）．，①

，②

②－①得，

．

11．已知数列的通项公式为＝，设，求．

解：

＝＝2（－）．

＝2[（－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）]＝2（＋－－）.

12．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．

解：

由已知得，即，

解得或或

13．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且

，．设（），则数列的前10项和等于（　C　）

（A）55　　　　（B）70　　　　　（C）85　　　　　（D）100

14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：

①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．

其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．（写出所有符合要求的组号）

15.已知等比数列的前项和为，且．

（1）求、的值及数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：

（1）当时，．

而为等比数列，得，即，从而．

又．

（2），

两式相减得，

因此，．

16.已知数列在直线x-y+1=0上．

（2）求数列{an}的通项公式；

（2）若函数

求函数f（n）的最小值；

（3）设表示数列{bn}的前n项和．试问:

是否存在关于n的整式g（n），使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?

若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．

解：

（1）在直线x-y+1=0上　　　

（2），

，

．

（3），

．

……………………………………

故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．

17.设数列是等差数列，．

（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；

（Ⅱ）当时，若满足，

使得是等比数列，求数列的通项公式．

解：

（Ⅰ）设公差为，则由，得

∵成等比数列，∴解得．故成等比数列．

（Ⅱ），∴，故．

又是等比数列，

则，∴，

又，∴，∴

18.数列{}的前项和满足：

（1）求数列{}的通项公式；

（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？

若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

解：

（1）当时有：

两式相减得：

∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．

从而

（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，

因此只能是，

即

、、均为正整数，

∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。

因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。

19.在等差数列中，，前项和满足，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和．

解：

（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，

所以，即，所以．

（Ⅱ）由，得．故，

当时，；

当时，，

即

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