完整版导数部分题目及答案Word格式.docx
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A．－
B．－
C．－4D．－
14.函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,3）B.
C．（0，＋∞）D．（－∞，3）
15.已知函数f（x）＝
x3－x2－
x，则f（－a2）与f（－1）的大小关系为（ ）
A．f（－a2）≤f（－1）B．f（－a2）<
f（－1）C．f（－a2）≥f（－1）
D．f（－a2）与f（－1）的大小关系不确定
16.函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则（ ）
A．a＝－11，b＝4B．a＝－4，b＝11C．a＝11，b＝－4D．a＝4，b＝－11
17.已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为（ ）
A．16B．12C．32D．6
18.设p：
f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：
m≥
，则p是q的（ ）A．充分不必要条B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
19.曲线y＝x3－2x＋4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
20.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
21.对于R上可导的任意函数f（x），满足（x－1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（0）＋f
（2）<
2f
（1）B．f（0）＋f
（2）≤2f
（1）
C．f（0）＋f
（2）≥2f
（1）D．f（0）＋f
（2）>
2f
（1）
22.已知对任意x∈R，恒有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x>
0时，f′（x）>
0，g′（x）>
0，则当x<
0时有（ ）
A．f′（x）>
0B．f′（x）>
0，g′（x）<
C．f′（x）<
0D．f′（x）<
23.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f（x）＝x3＋3x2－1相切的直线方程是（ ）
A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0
24.设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）>
g′（x），则当a<
x<
b时，有（ ）
A．f（x）>
g（x）B．f（x）<
g（x）
C．f（x）＋g（a）>
g（x）＋f（a）D．f（x）＋g（b）>
g（x）＋f（b）
25.三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．m<
0B．m<
1C．m≤0D．m≤1
26.已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x
＋x
等于（ ）
B.
C.
D.
27.已知函数f（x）＝13－8x＋
x2，且f′（x0）＝4，则x0的值为________．
28.曲线y＝2x2在点（－1,2）处的切线方程为____________．
29.已知f（x）＝x2＋3xf′
（2），则f′
（2）＝________.
30.已知f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值为______．
31.曲线y＝x3在点（1,1）处的切线方程为________________．
32.若f（x）＝x3＋kx2在[0,2]上是减函数，则k的取值范围为__________．
33.已知函数f（x）＝－x3＋ax在区间（－1,1）上是增函数，则实数a的取值范围_____．
34.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围____．
35.函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
36.直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围___．
37.若函数f（x）＝kx3＋3（k－1）x2－k2＋1在区间（0,4）上是减函数，则k的取值范围是____．
38.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．
39.已知函数f（x）＝
x4＋
ax3－a2x2＋a4（a>
0）．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝1恰有两个交点，求a的取值范围．
1.答案 B
解析 设二次函数为y＝ax2＋b（a<
0，b>
0），
则y′＝2ax，又∵a<
0，故选B.
2.答案 D
解析 当x<
0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c<
0，知相应的函数f（x）在该区间上单调递减；
当x>
0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间（0，x1）内的值是大于0的，则在此区间内函数f（x）单调递增．只有D选项满足题意．
3.答案 A
解析 由y＝f（x）的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y＝f′（x）的函数值依次为正负正负．由此可排除B、C、D.
4.答案 C
解析 利用导函数与原函数的图象关系求解．
∵f（x）在x＝－2处取得极小值，
∴当x<
－2时，f（x）单调递减，
即f′（x）<
0；
－2时，f（x）单调递增，即f′（x）>
0.
－2时，y＝xf′（x）>
当x＝－2时，y＝xf′（x）＝0；
当－2<
0时，y＝xf′（x）<
当x＝0时，y＝xf′（x）＝0；
0时，y＝xf′（x）>
结合选项中图象知选C.
5.答案 C
解析 不等式f′（x）≤0的解集即为函数f（x）的单调递减区间，从图象中可以看出函数f（x）在
和[2,3）上是单调递减的，所以不等式f′（x）≤0的解集为
∪[2,3），答案C.
6.答案 C
解析 y＝
x2，得y′＝
x＝
，∴x＝2.
7.答案 B
解析 由题意知f′（x）＝4ax3＋2bx，可知f′（x）为奇函数，若f′
（1）＝2，即f′
（1）＝4a＋2b＝2，故f′（－1）＝－f′
（1）＝－4a－2b＝－2.
点评 注意到f（x）的导函数是一个奇函数．f′（－1）＝－f′
（1）.
8.答案 A
解析 ∵点（1,0）在曲线y＝x3－2x＋1上，且y′＝3x2－2，∴过点（1,0）的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×
12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1×
（x－1），即y＝x－1.
9.答案 B
解析 设f（x）＝x4＋b，∵f
（1）＝1＋b＝－1，∴b＝－2.
∴f（x）＝x4－2.
10.答案 A
解析 设切点为P（x0，y0）．
y′＝（x2）′＝2x，∵切线l的斜率是4，
∴2x0＝4.∴x0＝2，y0＝4，则l的方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.
11.答案 A
解析 ∵点（0，b）在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
又y′＝2x＋a，∴在点（0，b）处的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
12.答案 A
解析 ∵点（1,3）在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
∴2＝f′
（1）＝3×
12＋a，∴a＝－1.∴y＝x3－x＋b.
又∵点（1,3）在曲线上，∴b＝3.
点评 曲线与直线切于点（1,3），（1,3）即为切点，既在曲线上，又在直线上．
13.答案 A
解析 f′（x）＝x2＋2x－3，f′（x）＝0，x∈[0,2]只有x＝1.
比较f（0）＝－4，f
（1）＝－
，f
（2）＝－
.
可知最小值为－
14.答案 B
解析 令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±
（a>
0，否则函数y为单调增函数）．若函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内有极小值，则
<
1，∴0<
a<
15.答案 A
解析 由题意可得f′（x）＝
x2－2x－
由f′（x）＝
（3x－7）（x＋1）＝0，得x＝－1或x＝
当x<
－1时，f（x）为增函数；
当－1<
时，f（x）为减函数．
所以f（－1）是函数f（x）在（－∞，0]上的最大值，
又因为－a2≤0，故f（－a2）≤f（－1）．
16.答案 D
解析 由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，得f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
根据已知条件
即
解得
或
（经检验应舍去）
17.答案 C
解析 令f′（x）＝3x2－12＝0，得x＝±
2，
比较f（－3），f（－2），f
（2），f（3）的大小可知：
M＝f（－2）＝24，m＝f
（2）＝－8.∴M－m＝32.
18.答案 C
解析 ∵f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1，
∴f′（x）＝3x2＋4x＋m.
由f（x）为增函数⇔f′（x）≥0在R上恒成立⇔Δ≤0⇔16－12m≤0⇔m≥
.故p是q的充分必要条件．
19.答案 B
解析 ∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2.
∵y′|x＝1＝3×
1－2＝1，
∴y＝x3－2x＋4在点（1,3）处的切线的斜率为1，
即其倾斜角为45°
20.答案 B
解析 设截去小正方形的边长为x，则铁盒容积为V＝（48－2x）2x（0<
24），V′＝（48－2x）（48－6x）．令V′＝0，则x1＝24（舍去），x2＝8，当0<
8时，V′>
0.当8<
24时，V′<
0.可知x＝8时，容积最大，故选B.
21.答案 C
解析 由（x－1）f′（x）≥0，得
①函数y＝f（x）在（－∞，1]上单调递减，f（0）>
f
（1）；
在[1，＋∞）上单调递增，f
（2）>
f
（1），∴f（0）＋f
（2）>
2f
（1）．②函数y＝f（x）可为常数函数，f（0）＋f
（2）＝2f
（1）．
22.答案 B
解析 由f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
又x>
0，
由奇、偶函数的性质知，当x<
23.答案 A
解析 设切点的坐标为（x0，x
＋3x
－1），
则由切线与直线2x－6y＋1＝0垂直，
可得切线的斜率为－3，
又f′（x）＝3x2＋6x，故3x
＋6x0＝－3，
解得x0＝－1，于是切点坐标为（－1,1），
从而得切线的方程为3x＋y＋2＝0.
24.答案 C
解析 ∵f′（x）－g′（x）>
0，∴（f（x）－g（x））′>
∴f（x）－g（x）在[a，b]上是增函数，
∴当a<
b时f（x）－g（x）>
f（a）－g（a），
∴f（x）＋g（a）>
g（x）＋f（a）．
25.答案 A
解析 f′（x）＝3mx2－1，依题可得m<
26.答案 C
解析 由图可知f
（1）＝0，f
（2）＝0，
∴
∴f（x）＝x3－3x2＋2x，∴f′（x）＝3x2－6x＋2.
由图可知x1，x2为f（x）的极值点，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝
∴x
＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－
＝
27.答案 3
解析 f′（x）＝－8＋2
x，f′（x0）＝－8＋2
x0＝4，
∴x0＝3
28.答案 4x＋y＋2＝0
解析 ∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝－1＝－4.
故在点（－1,2）处的切线方程为y－2＝－4（x＋1），.
29.答案 －2
解析 由题意得f′（x）＝2x＋3f′
（2），
∴f′
（2）＝2×
2＋3f′
（2），
∴f′
（2）＝－2.
30.答案
解析 ∵f′（x）＝3ax2＋6x，
∴f′（－1）＝3a－6＝4，
∴a＝
31.答案 3x－y－2＝0
解析 ∵y′＝3x2，k＝y′|x＝1＝3.
∴y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.
32.答案 （－∞，－3]
解析 f′（x）＝3x2＋2kx＝x（3x＋2k），
由题意知
是函数的单调减区间，
因此－
≥2，即k≤－3.
33.答案 a≥3
34.答案 a<
－3或a>
6
解析 本题考查函数的极值概念及二次函数的图象应用，数形结合解答可减少错误；
若函数有极值需f′（x）＝3x2＋2ax＋a＋6的取值有负有正，故由二次函数图象可知只需Δ＝（2a）2－12（a＋6）>
0即可，解得a<
6.
35.答案 （－1,11）
解析 ∵f′（x）＝3x2－30x－33＝3（x－11）（x＋1），令f′（x）<
0得－1<
11，∴函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为（－1,11）．
36.答案 （－2,2）
解析
令f′（x）＝3x2－3＝0，
得x＝±
1，
可得极大值为f（－1）＝2，极小值为f
（1）＝－2，如图，观察得－2<
2时恰有三个不同的公共点．
37.答案 k≤
解析 f′（x）＝3kx2＋6（k－1）x.
由题意，知
解得k≤
38.答案 2∶1
解析 设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝
，圆柱体积V＝π
2x＝
（x3－12x2＋36x）（0<
6），
V′＝
（x－2）（x－6）．
当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.
39.思维启迪：
（1）求导数f′（x）→判断f′（x）>
0或f′（x）<
0→确定单调区间；
（2）根据单调性→求f（x）的极大、极小值→用数形结合．
解
（1）因为f′（x）＝x3＋ax2－2a2x＝x（x＋2a）（x－a），
令f′（x）＝0得x1＝－2a，x2＝0，x3＝a，
由a>
0，可知f′（x）在f′（x）＝0处根的左右的符号如下表所示：
x
（－∞，－2a）
－2a
（－2a，0）
（0，a）
a
（a，＋∞）
f′（x）
－
＋
f（x）
减函数
极小值
增函数
极大值
所以f（x）的递增区间为（－2a,0）与（a，＋∞）；
f（x）的递减区间为（－∞，－2a）与（0，a）．
（2）由
（1）得到f（x）极小值＝f（－2a）＝－
a4，
f（x）极小值＝f（a）＝
a4，f（x）极大值＝f（0）＝a4.
要使f（x）的图象与直线y＝1恰有两个交点，
只要－
a4<
1<
a4或a4<
1，即a>
或0<
1.
探究提高 解本题若采用研究初等函数的方法来讨论函数的单调性、最值是十分繁杂的，而采用导数来求函数的单调区间，通过“求导”、“解不等式”、“写单调区间”这三步，简明有效．
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