6.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()
A.B.C.D.
7.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于()
A.30°B.45°
C.60°D.120°
8.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()
A.90°B.120°C.135°D.150°
9.在△ABC中,b2+c2-a2=-bc,则A等于()
A.60°B.135°
C.120°D.90°
10.在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为()
A.52 B.2
C.16D.4
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则∠B=()
A.B.或C.或D.
13.在△ABC中,asinAsinB+bcos2A=a,则=()
A.2B.2C.D.
14.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=()
A.-B.C.D.或-
二.填空题
15.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为________.
16.在△ABC中,A=45°,a=2,b=,则角B的大小为________.
17.在△ABC中,c+b=12,A=60°,B=30°,则b=________,c=________.
18.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C的大小为________.
19.(2013·上海卷)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,则cosC=__________________.
20.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cosC=,则BC=________.
21.在△ABC中,化简b·cosC+c·cosB=________.
22.在△ABC中,a=1,b=,A+C=2B,则sinC=________.
23.已知△ABC的三边a,b,c,且面积S=,则角C=________.
三、解答题
24.在△ABC中,a=,b=,B=45°,解这个三角形.
25.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=.
(1)求△ABC的周长;
(2)求cos(A-C)的值.
26.在△ABC中,acos=bcos,判断△ABC的形状.
27.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A+C=2B.
(1)求cosB的值;
(2)若b2=ac,求sinAsinC的值.
28.在△ABC中,B=120°,若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
参考答案:
1.B解析:
由正弦定理=得=,
∴=,即sinB=cosB,∴B=45°.
2.B解析:
由正弦定理得=,即c=2.
3.B解析:
利用正弦定理解三角形.
4.A解析:
由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶∶2.
5.A解析:
sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B(大角对大边).
6.C解析:
由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=5,∴AC=.再由正弦定理=,
可得sin∠BAC=.
7.C解析:
cosB===.
∴B=60°.
8.B解析:
设边长为7的边所对的角为θ,则由余弦定理得:
cosθ==,∴θ=60°.
∴最大角与最小角的和为180°-60°=120°.
9.C解析:
cosA==-,∴A=120°.
10.D解析:
由b2=ac及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0.∴a=c.
又B=60°,∴△ABC为等边三角形.
11.B解析:
设夹角为α,所对的边长为m,则由5x2-7x-6=0,得(5x+3)(x-2)=0,故得x=-或x=2,因此cosα=-,于是m2=52+32-2×5×3×=52,∴m=2.
12.B解析:
由(a2+c2-b2)tanB=ac得a2+c2-b2=,再由余弦定理得:
cosB==,即tanBcosB=,即sinB=,∴B=或.
13.D解析:
∵asinAsinB+bcos2A=a.
由正弦定理可得sinAsinAsinB+sinBcos2A=sinA,
即sinB=sinA,∴==.
14.C解析:
由正弦定理得=,
∴sinB==.
∵a>b,∴A>B,即B为锐角.
∴cosB===.
15.解析:
由正弦定理得=,解得BC=6,
∴S△ABC=AB·BC·sinB=×6×6×=9.
答案:
9
16.解析:
由=得sinB=,由a>b知A>B,∴B=30°.
答案:
30°
17.解析:
由正弦定理知=,即b=c,又b+c=12,解得b=4,c=8.
答案:
4 8
18.解析:
在△ABC中,由正弦定理知=,
即sinB===.
又∵a>b,∴∠B=.
∴∠C=π-∠A-∠B=.
答案:
19.解析:
由3a2+2ab+3b2-3c2=0得a2+b2-c2=-ab,从而cosC==-.
答案:
-
20.解析:
由余弦定理得:
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即:
5=25+BC2-9BC,解得:
BC=4或5.
答案:
4或5
21.解析:
由余弦定理得:
原式=b·+c·
=+=a.
答案:
a
22.解析:
在△ABC中,A+B+C=π,又A+C=2B,
故B=,由正弦定理知sinA==,
又a<b,因此A=,从而C=,即sinC=1.
答案:
1
23.解析:
由absinC=得a2+b2-c2=2absinC,再由余弦定理cosC=得sinC=cosC,
∴C=.
答案:
24.解析:
由正弦定理得=,得sinA=.
∵a>b,∴A>B=45°,
∴A=60°或120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==.
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.
综上可得A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.
25.解析:
(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4,∴c=2.∴△ABC的周长为1+2+2=5.
(2)∵cosC=,∴sinC==,
cosA===.
∴sinA==.
∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=.
26.解析:
∵acos=bcos,
∴asinA=bsinB.
由正弦定理可得:
a·=b·,
∴a2=b2.∴a=b.
∴△ABC为等腰三角形.
27.解析:
(1)由2B=A+C和A+B+C=180°,得B=60°,∴cosB=.
(2)由已知b2=ac及正弦定理得sinAsinC=sin2B=sin260°=.
28.解析:
由余弦定理得:
b2=a2+c2-2ac·cosB,
即b2=(a+c)2-2ac-2ac·,
∴ac=3.
故S△ABC=acsinB=×3×=.