高中数学教学设计大赛教学案例设计汇编.doc
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高中数学教学案例设计汇编
（下部）
19、正弦定理
（2）
一、教学内容分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：
第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：
正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：
正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：
制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
教师：
展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：
思考提出测量角A，C
教师：
若已知测得，，要计算A、B两地距离，你（图1）
有办法解决吗？
学生：
思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，
，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为
490m。
老师：
对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？
师生：
共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。
②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
。
教师：
引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：
思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：
过作于
（图2）
在中，
，
在中，
教师：
表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
教师：
引导学生再观察刚才解题过程。
学生：
发现，
教师：
引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？
你能发现什么？
学生：
发现即然有，那么也有，。
教师：
引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
设计意图：
兴趣是最好的老师。
如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。
因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。
（二）数学实验，验证猜想
教师：
给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：
b：
c为1：
1：
1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。
（学生回答它们相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：
b：
c为1：
1：
，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：
b：
c为1：
：
2，对应角的正弦值分别为，，1。
（学生回答它们相等）（图3）
（图3）
教师：
对于呢？
B
a
A
C
c
b
（图4）
学生：
思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
教师：
那么任意三角形是否有呢？
学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：
有什么不明白的地方或者有什么问题吗？
（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。
）
学生：
分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。
教师：
借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：
==
设计意图：
让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。
学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：
我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？
前面探索过程对我们有没有启发？
学生分组讨论，每组派一个代表总结。
（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：
思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：
，垂足为
在中，
（图5）
在中，
同理，在中，
③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于
（图6）
在中，
在中，
同锐角三角形证明可知
教师：
我们把这条性质称为正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
还有其它证明方法吗？
学生：
思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：
，
而由图中可以看出：
，，
=
=
等式中均除以后可得，
即。
教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。
（图7）
A
B
C
D
E
F
b
a
c
（图7）
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：
，能否得到新面积公式
学生：
得到三角形面积公式
教师：
大家还有其他的证明方法吗？
比如：
、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？
（图8）
学生：
在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：
连续并延长交圆于
，
在中，
即
同理可证：
，
教师：
从刚才的证明过程中,，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？
比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？
学生：
思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，
（图9）
即
同理：
对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。
教师：
由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。
设计意图：
经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：
现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：
马上得出
在中，
（五）了解解三角形概念
设计意图：
让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：
一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：
利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（六）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：
引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：
讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：
例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：
在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：
在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
学生：
反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：
自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：
提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：
思考交流，归纳总结。
师生：
让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：
①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：
通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：
第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：
例2：
在中，已知，，，解三角形。
例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。
课外链接：
课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：
）
七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。
其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
1、结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。
让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。
附一：
实验报告单
组长:
组员：
试验目的
研究三角形中各边和它对角的正弦值的比（，，）是否相等。
实验器材
计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发）
实验方法
画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。
实验内容
三边：
a= b= c=
三角：
A= B= C=
计算：
= = =
（精确到小数点后两位）
结论：
福安一中陈桢仔林旭
点评：
本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。
首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。
在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。
其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了“在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。
定理证明的方法一、方法二，参透了分类、转化的数学思想。
但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。
总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
20、正弦定理（3）
一、教学内容分析
“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
为什么要研究正弦定理？
正弦定理是怎样发现的？
其证明方法是怎样想到的？
还有别的证法吗？
这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。
本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。
正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
三、设计思想
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？
建构主义认为：
“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：
知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标
1、知识与技能：
通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法：
让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观：
在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
五、教学重点与难点
重点：
正弦定理的发现和推导
难点：
正弦定理的推导
六、教学过程设计
（一）设置情境
利用投影展示：
如图1，一条河的两岸平行，河宽。
因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你确定转运方案。
已知船在静水中的速度，水流速度。
【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。
（二）提出问题
师：
为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。
待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：
1、船应开往B处还是C处？
2、船从A开到B、C分别需要多少时间？
3、船从A到B、C的距离分别是多少？
4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？
5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？
【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。
师：
谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？
大家经过讨论达成如下共识：
要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题4，问题4与问题5是两个相关问题。
因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。
师：
请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
生1：
船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小及与的夹角：
，
用计算器可求得
船从A开往C的情况如图3，，，易求得，还需求及，我还不知道怎样解这两个问题。
师：
请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？
部分学生：
在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。
【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。
师：
请大家讨论一下，如何解决这两个问题？
生3：
不知道。
师：
图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？
生4：
图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。
但图2中是直角三角形，而图3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。
师：
图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？
【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。
生5：
能，过点D作于点G（如图4），
，
师：
很好！
采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。
但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。
能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？
三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？
【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。
（三）解决问题
1、正弦定理的引入
师：
请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？
众学生：
先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。
可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。
师：
如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？
同学们可以参与小组共同研究。
（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。
（2）展示学生研究的结果。
【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。
师：
请说出你研究的结论？
生7：
师：
你是怎样想出来的？
生7：
因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边。
师：
有没有其它的研究结论？
（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。
）
师：
对一般三角形是否成立呢？
众学生：
不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：
若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：
这是个好主意。
那么对等边三角形是否成立呢？
生9：
成立。
师：
对任意三角形是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验，……
【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。
2、正弦定理的探究
（1）实验探究正弦定理
师：
借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。
边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论：
对于任意三角形都成立。
【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。
师：
利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。
生10：
（通过计算）与生5的结果相同。
师：
如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论
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