高中圆的重要题型6.doc

高中圆的重要题型6.doc

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类型九：

圆的综合应用

例25、已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．

分析：

设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为，由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出的值，从而使问题得以解决．

解法一：

设点、的坐标为、．一方面，由，得

，即，也即：

．　　　①

另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程　　　　②

的两个根．

∴，．　③

又、在直线上，

∴．

将③代入，得．　　④

将③、④代入①，解得，代入方程②，检验成立，

∴．

解法二：

由直线方程可得，代入圆的方程，有

，

整理，得．

由于，故可得

．

∴，是上述方程两根．故．得

，解得．

经检验可知为所求．

说明：

求解本题时，应避免去求、两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点、存在．

解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．

例26、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

分析一：

为了使不等式恒成立，即使恒成立，只须使就行了．因此只要求出的最小值，的范围就可求得．

解法一：

令，

由

得：

∵且，

∴．

即，∴，

∴，即

又恒成立即恒成立．

∴成立，

∴．

分析二：

设圆上一点[因为这时点坐标满足方程]问题转化为利用三解问题来解．

解法二：

设圆上任一点

∴，

∵恒成立

∴

即恒成立．

∴只须不小于的最大值．

设

∴即．

说明：

在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆上的点设为（）．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．