高中文科数学一轮复习集合专题.doc
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第一章集合
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：
由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：
A＝B
2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：
由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：
a≥0
3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：
y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.
答案：
BA
4．（2009年高考广东卷改编）已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩（Venn）图是________．
解析：
由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：
②
5．（2010年苏、锡、常、镇四市调查）已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：
a<5
6．（原创题）已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：
∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2（a1＋a2）＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.
B组
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
解析：
分四种情况：
（1）a>0且b>0；
（2）a>0且b<0；（3）a<0且b>0；（4）a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：
{3，－1}
2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.
解析：
∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，∴m＝1.答案：
1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：
依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：
8
4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
解析：
M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：
0,1，－1
5．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．
解析：
A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：
3
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．
解析：
用列举法寻找规律．答案：
AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________．
解析：
结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：
必要不充分条件
8．（2010年江苏启东模拟）设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．
解析：
∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：
511
9．（2009年高考北京卷）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：
依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：
6
10．已知A＝{x，xy，lg（xy）}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：
由lg（xy）知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg（xy）＝0，xy＝1.
∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．
于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
（1）若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
（2）若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
（3）若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：
由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
（1）∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A.
②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是（－∞，3]．
（2）若A⊆B，则依题意应有解得故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]．
（3）若A＝B，则必有解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B.
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－（a＋1）x＋a≤0}．
（1）若A是B的真子集，求a的取值范围；
（2）若B是A的子集，求a的取值范围；
（3）若A＝B，求a的取值范围．
解：
由x2－3x＋2≤0，即（x－1）（x－2）≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|（x－1）（x－a）≤0}，
（1）若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.
（2）若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.
（3）若A=B，则必有a=2
第二节集合的基本运算
A组
1．（2009年高考浙江卷改编）设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.
解析：
∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0{x|02．（2009年高考全国卷Ⅰ改编）设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有________个．
解析：
A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U（A∩B）＝{3,5,8}．答案：
3
3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：
由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：
{0,2}
4．（原创题）设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.
解析：
A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝（2，＋∞）．
答案：
（2，＋∞）
5．（2009年高考湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：
设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12（人）．答案：
12
6．（2010年浙江嘉兴质检）已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．
（1）当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
解：
（1）当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1（2）若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为（1，＋∞）
B组
1．若集合M＝{x∈R|－3解析：
因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：
{－1,0}
2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则（∁UA）∩B＝________.
解析：
∁UA＝{0,1}，故（∁UA）∩B＝{0}．答案：
{0}
3．（2010年济南市高三模拟）若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩（∁UN）＝________.
解析：
根据已知得M∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：
{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析：
由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．
答案：
{2,3,4}
5．（2009年高考江西卷改编）已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：
U＝A∪B中有m个元素，
∵（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：
m－n
6．（2009年高考重庆卷）设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）＝________.
解析：
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，
得∁U（A∪B）＝{2,4,8}．答案：
{2,4,8}
7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为________．
解析：
由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0,4,5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：
18
8．若集合{（x，y）|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{（x，y）|y＝3x＋b}，则b＝________.
解析：
由⇒点（0,2）在y＝3x＋b上，∴b＝2.
9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．
解析：
∵A∪（∁IA）＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．
答案：
∅，{1}，{2}，{1,2}
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋（a2－5）＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.
（2）对于集合B，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－5）＝8（a＋3）．∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
⇒矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.
11．已知函数f（x）＝的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）的定义域为集合B.
（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；
（2）若A∩B＝{x|－1解：
A＝{x|－1（1）当m＝3时，B＝{x|－1∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．
（2）∵A＝{x|－1∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－212．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若A＝∅，求实数a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值及集合A；
（3）求集合M＝{a∈R|A≠∅}．
解：
（1）A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．
若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．
若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.
综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>.
（2）当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．
当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，
方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．
综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
（3）当a＝0时，A＝{}≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，即a≤.
综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤}
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