高中培优讲义定积分及其简单应用.doc

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第十三讲定积分及其简单应用

教学目标：

1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2、了解微积分基本定理的含义.

一、知识回顾课前热身

知识点1、定积分

（1）定积分的相关概念在f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．

（2）定积分的几何意义

①当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分f（x）dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）．

②一般情况下，定积分f（x）dx的几何意义是介于x轴、曲线f（x）以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和（右上图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

（3）定积分的基本性质

①kf（x）dx＝kf（x）dx.②[f1（x）±f2（x）]dx＝f1（x）dx±f2（x）dx.

③f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx.

（4）．定积分[f（x）－g（x）]dx（f（x）>g（x））的几何意义是什么？

提示：

由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f（x），y＝g（x）所围成的曲边梯形的面积．

知识点2、微积分基本定理如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F（b）－F（a）记成F（x），即f（x）dx＝F（x）＝F（b）－F（a）．

基础练习

1.dx等于（　　）

A．2ln2　B．－2ln2C．－ln2D．ln2

解析：

选D　dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.

2．一质点运动时速度和时间的关系为V（t）＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为（　　）

A.B.C.D.

解析：

选A　S＝（t2－t＋2）dt＝＝.

3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．

解析：

x2dx＝x3＝.答案：

4．dx＝________.

解析：

由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以

dx＝π.答案：

π

二、例题辨析推陈出新

例1、利用微积分基本定理求下列定积分：

（1）（x2＋2x＋1）dx；

（2）（sinx－cosx）dx；（3）x（x＋1）dx；

（4）dx；（5）sin2dx.

[解答]　

（1）（x2＋2x＋1）dx＝x2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝.

（2）（sinx－cosx）dx＝sinxdx－cosxdx＝（－cosx）－sinx＝2.

（3）x（x＋1）dx＝（x2＋x）dx＝x2dx＋xdx＝x3＋x2＝＋＝.

（4）dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.

（5）sin2dx＝dx＝dx－cosxdx＝x－sinx＝－＝.

变式练习

1．求下列定积分：

（1）|x－1|dx；

（2）dx.

解：

（1）|x－1|＝故|x－1|dx＝（1－x）dx＋（x－1）dx

＝＋＝＋＝1.

（2）dx＝|sinx－cosx|dx＝（cosx－sinx）dx＋（sinx－cosx）dx

＝（sinx＋cosx）＋（－cosx－sinx）＝－1＋（－1＋）＝2－2.

例2、　dx＝________.

[解答]　dx表示y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．

由y＝得（x－1）2＋y2＝1（y≥0），又∵0≤x≤1，∴y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为个圆，其面积为.∴dx＝.

在本例中，改变积分上限，求dx的值．

解：

dx表示圆（x－1）2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以

dx＝.　　　　

变式练习

2．（2013·福建模拟）已知函数f（x）＝（cost－sint）dt（x>0），则f（x）的最大值为________．

解析：

因为f（x）＝sindt＝cos＝cos－cos＝sinx＋cosx－1＝

sin－1≤－1，当且仅当sin＝1时，等号成立．答案：

－1

三、归纳总结方法在握

归纳1、利用几何意义求定积分的方法

（1）当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．

（2）利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．

归纳2、求定积分的一般步骤

计算一些简单的定积分，解题的步骤是：

（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；

（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值．

归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤

（1）画出曲线的草图．

（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．（3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．（4）计算定积分，写出答案．

四、拓展延伸能力升华

利用定积分求平面图形的面积

例1、（2012·山东高考）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（　　）

A.　　　　B．4C.D．6

[解答]　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点（4,2）．由定积分的几何意义可知，由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为

（－x＋2）dx＝＝.[答案]　C

若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？

解：

如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为f（x）dx＝dx＋（－x＋2）dx＝x＋＝.　　　　

变式练习3．（2013·郑州模拟）如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）

A.　　B.　　C.　　D.

解析：

选D　由⇒x＝或x＝－（舍），所以阴影部分面积

S＝dx＋dx＝＋＝.

定积分在物理中的应用

例2、列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？

[解答]　a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50（s）．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝vdt＝（20－0.4t）dt＝（20t－0.2t2）

＝20×50－0.2×502＝500（m），即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．

变式练习4．一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F（x）相同的方向运动了4米，力F（x）做功为（　　）

A．44J　　　　　B．46JC．48JD．50J

解析：

选B　力F（x）做功为10dx＋（3x＋4）dx＝10x＋＝20＋26＝46.

例3、（2012·上海高考）已知函数y＝f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0），B，C（1,0）．函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为________．

[解析]　由题意可得

f（x）＝所以y＝xf（x）＝

与x轴围成图形的面积为10x2dx＋（10x－10x2）dx＝x3＋＝.[答案]　

变式练习

1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析：

选A　由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝（x2－x3）dx＝－＝.

2．（2012·山东高考）设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

解析：

由题意dx＝a2.又′＝，即x＝a2，即a＝a2.所以a＝.答案：

五、课后作业巩固提高

1.dx＝（　　）

A．lnx＋ln2x　　　　　B.－1C.D.

解析：

选C　dx＝＝.

2．（2012·湖北高考）已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（　　）

A.B.C.D.

解析：

选B　由题中图象易知f（x）＝－x2＋1，则所求面积为2（－x2＋1）dx＝2＝.

3．设f（x）＝则f（x）dx＝（　　）

A.B.C.D．不存在

解析：

选C　如图．

f（x）dx＝x2dx＋（2－x）dx＝x3＋＝＋＝.

4．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（　　）

A.mB.mC.mD.m

解析：

选A　v＝40－10t2＝0，t＝2，（40－10t2）dt＝＝40×2－×8＝（m）．

5．（2013·青岛模拟）由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为（　　）

A.B．1C.D.

解析：

选D　结合函数图象可得所求的面积是定积分cosxdx＝

sinx＝－＝.

6．设a＝sinxdx，则曲线y＝f（x）＝xax＋ax－2在点（1，f

（1））处的切线的斜率为________．

解析：

∵a＝sinxdx＝（－cosx）＝2，∴y＝x·2x＋2x－2.∴y′＝2x＋x·2xln2＋2.

∴曲线在点（1，f

（1））处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln2.答案：

4＋2ln2

7．在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝（1＋2x）dx，则该数列的前5项之和S5等于________．

解析：

a4＝（1＋2x）dx＝（x＋x2）＝18，因为数列{an}是等比数列，故18＝q3，解得q＝3，所以S5＝＝.答案：

8．（2013·孝感模拟）已知a∈，则当（cosx－sinx）dx取最大值时，a＝________.

解析：

（cosx－sinx）dx＝（sinx＋cosx）＝sina＋cosa－1＝sin－1，

∵a∈，∴当a＝时，sin－1取最大值．答案：

9．计算下列定积分：

（1）sin2xdx；

（2）2dx；（3）e2xdx.

解：

（1）sin2xdx＝dx＝＝－0＝.

（2）2dx＝dx＝＝－（2＋4＋ln2）

＝＋ln3－ln2＝＋ln.

（3）e2xdx＝e2x＝e－.

10．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解：

抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

所以，抛物线与x轴所围图形的面积

S＝（x－x2）dx＝＝.又

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，

＝（x－x2－kx）dx＝＝（1－k）3.又知S＝，所以（1－k）3＝，

于是k＝1－＝1－.

11．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A（2,4）移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．

解：

设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为（x，y），

则（kx－x2）dx＝（x2－kx）dx，

即＝，

解得kx2－x3＝－2k－，

解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为.

12．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：

由得交点A（1,1）；由得交点B（3，－1）．

故所求面积S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.