极坐标练习题(含详细答案).docx

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1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为（　　）

A．25x2＋9y2＝1B．9x2＋25y2＝1C．25x＋9y＝1D.＋＝1

2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为（　　）

A．（x＋）2＋y2＝ B．x2＋（y＋）2＝

C．x2＋（y－）2＝ D．（x－）2＋y2＝

答案　D

解析　由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D.

3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为（　　）

A．一条射线和一个圆 B．两条直线

C．一条直线和一个圆 D．一个圆

答案　C

4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（　　）

A．（1，） B．（1，－）

C．（1,0） D．（1，π）

答案　B

解析　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为普通方程x2＋（y＋1）2＝1，其圆心坐标为（0，－1），所以其极坐标为（1，－），故应选B.

5．设点M的直角坐标为（－1，－，3），则它的柱坐标为（　　）

A．（2，，3） B．（2，，3）

C．（2，，3） D．（2，，3）

答案　C

6．（2013·安徽）在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）

A．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝2

B．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2

C．θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝1

D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1

答案　B

解析　由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为（x－1）2＋y2＝1.

所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2，故选B.

7．在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（　　）

A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ

C．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1

答案　C

解析　过点（1,0）且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.

8．（2013·天津）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为（4，），则|CP|＝________.

答案　2

解析　由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为（2,0），点P的直角坐标为（2,2），所以|CP|＝2.

9．（2014·唐山一中）在极坐标系中，点P（2，－）到直线l：

ρsin（θ－）＝1的距离是________．

答案　＋1

解析　依题意知，点P（，－1），直线l为x－y＋2＝0，则点P到直线l的距离为＋1.

10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

答案　x2＋y2－4x－2y＝0

解析　由⇒cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ＝＋⇒ρ2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.

11．在极坐标系中，直线ρsin（θ＋）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

答案　4

解析　直线ρsin（θ＋）＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得

2＝2＝4.

12．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝（ρ>0）所表示的图形的交点的极坐标是________．

答案　（1,0）　（，）

解析　ρ＝2cosθ表示以点（1,0）为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为（1,0）．

当θ＝时，ρ＝，故交点的极坐标为（，）．

13．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．

答案　（，）

解析　ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，

ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1.

联立方程，得解得

即两曲线的交点为（－1,1）．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为（，）．

14．在极坐标系中，直线ρ（cosθ－sinθ）＋2＝0被曲线C：

ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

答案　

解析　直线ρ（cosθ－sinθ）＋2＝0化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，曲线C：

ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4.如图，直线被圆截得弦AB，AB中点为M，则|OA|＝2，|OB|＝2，从而|OM|＝，∠MOx＝.

∴点M的极坐标为.

15．已知点M的极坐标为（6，），则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________．

答案　（－3，－3）

解析　∵点M的极坐标为（6，），

∴x＝6cos＝6cos＝6×＝3，

y＝6sin＝6sin（－）＝－6×＝－3.

∴点M的直角坐标为（3，－3）．

∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为（－3，－3）．

16．在极坐标系中，点P（2，）到直线l：

3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．

答案　1

解析　在相应直角坐标系中，P（0，－2），直线l方程为3x－4y－3＝0，所以P到l的距离d＝＝1.

17．从极点O作直线与另一直线l：

ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．

答案　

（1）ρ＝3cosθ　

（2）1

解析　

（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），

M的坐标为（ρ0，θ），则ρρ0＝12.

∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．

（2）由

（1）知P的轨迹是以（，0）为圆心，半径为的圆，易得|RP|的最小值为1.

18．在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin（θ－）＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

答案　

（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0　

（2）（1，）

解析　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.

直线l：

ρsin（θ－）＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的极坐标为（1，）．