高中三角形中的常见结论.doc
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C
B
A
D
高中三角形中的常见结论
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形
这个前提条件就不一定成立！
在中，内角的对边分别为。
1、内角和定理：
。
2、边角关系：
大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，
即：
，，。
3、三边关系：
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
即：
，，
，，
4、三角形的四心：
外心：
外接圆圆心，三边中垂线的交点。
内心：
内切圆圆心，三内角角平分线的交点。
垂心：
三边高线的交点。
重心：
三边中线的交点。
重心的性质：
（1）重心是中线的三等分点；
（2）；
（3）若、、，则。
等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。
等边三角形四心合一。
5、正弦定理：
（为外接圆的半径）。
正弦定理的变形：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，；
（5）；
（6）。
正弦定理的用途：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取舍角，利用内角和定理、边角关系进行取舍！
）
（3）判断三角形的形状。
（边化角或角化边）
6、余弦定理：
，，
或，，。
余弦定理的用途：
（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角；
（3）判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
为锐角
为直角
为钝角
7、三角形内的诱导公式：
8、对任意三角形，都有。
9、，
，
。
10、若，则或。
11、
12、在中，给定、的正弦或余弦值，则的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是。
（也可以用9中的结论来判断）
13、在中，。
14、在中，、、成等差数列。
15、为正三角形、、成等差数列且、、成等比数列。
16、的面积公式：
（1）（，，分别为边上的高）
（2）
17、正余弦定理综合：
D
C
B
A
18、射影定理：
19、角平分线定理：
为的角平分线，则
20、的面积公式：
（1）（，，分别为边上的高）
（2）
（3）（为外接圆的半径）
（4）
（5）（其中）
（6）（为内切圆的半径）
21、直角三角形中的结论：
（1）两锐角互余，即。
（2）角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）勾股定理：
。
（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶点。
（5）如图可得：
D
C
B
A
（6）由
（2）可得直角三角形中的射影定理：
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