华约自主招生数学试题.doc

华约自主招生数学试题.doc

《华约自主招生数学试题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华约自主招生数学试题.doc（5页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2013年“华约”自主招生考试数学试题

一、已知集合A=,B是A的子集，且B中元素满足下列条件：

⑴数字两两不相等，⑵任意两数字之和不等于9.

试求：

（Ⅰ）B中有多少个两位数？

有多少个三位数？

（Ⅱ）B中是否有五位数？

是否有六位数？

（Ⅲ）将B中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？

二、已知，，求sin（x-y）,cos（x+y）的值

三、设k>0，从直线y=kx和y=-kx上分别选取点A（xA,yA）,B（xB,yB）,使得xAxB>0,

|OA||OB|=1+k2,O为坐标原点，AB的中点M的轨迹为C。

（Ⅰ）求C的轨迹方程；

（Ⅱ）抛物线x2=2px（p>0）与C相切于两点，求证：

两点在两条定直线上，并求出两条切线方程。

四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。

（Ⅰ）求恰好有一个红球的概率

（Ⅱ）社四个求中黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望EX。

（Ⅲ）求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。

五、已知an+1=an+can2，n=1,2,3,……,a1>0,c>0，

（Ⅰ）对任意的M>0，存在正整数N，使得对于n>N，恒有an>M；

（Ⅱ）设，Sn为{bn}的前n项和。

证明：

{Sn}有界且对d>0，存在正整数k，

当n>k时，恒有。

六、已知x、y、z是三个大于1的正整数，且xyz整除（xy-1）（yz-1）（zx-1），求x、y、z的所有可能的值。

七、已知f（x）=（1-x）ex-1.

（Ⅰ）证明：

当x>0时，f（x）<0；

（Ⅱ）若，x1=1，证明数列{xn}递减，且.

参考答案