竞赛及提前招生长郡中学理科实验班招生考试数学试卷.docx
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2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）函数图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A．
B．
π
C．
π
D．
3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（ ）
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
4．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（ ）
A．
4倍
B．
3倍
C．
2倍
D．
1.5倍
5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
6．（4分）如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（ ）
A．
cosα
B．
sin2α
C．
cos2α
D．
1﹣sinα
7．（4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（ ）
A．
a＞b
B．
a＜b
C．
a=b
D．
与勺子大小有关
8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
钝角三角形
C．
直角三角形
D．
都有可能
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□
_________ ．
10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 _________ ．
11．（5分）计算：
= _________ ．
12．（5分）五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了 _________ 场，E队比赛了 _________ 场．
13．（5分）（2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是 _________ ．
14．（5分）如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1 _________ ∠2（填“＞”、“＜”或“=”）
三、解答题（共3小题，满分38分）
15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级
（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明
（1）中哪种方案成本最低？
最低成本是多少元？
16．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：
AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：
AD+BD=CD．
17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？
若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．（4分）函数图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
反比例函数的图象．3071545
分析：
由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．
解答：
解：
由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．
故选D．
点评：
解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．
2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A．
B．
π
C．
π
D．
考点：
几何概率．3071545
专题：
计算题．
分析：
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
解答：
解：
∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB=60°，
设三角形的边长是a，
∴AB=a，
∵⊙O是内切圆，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴BO=tan30°AB=a，
则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，
因此概率是a2÷a2=．
故选C．
点评：
用到的知识点为：
边长为a的正三角形的面积为：
a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．
3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（ ）
A．
8
B．
9
C．
10
D．
11
考点：
幂的乘方与积的乘方．3071545
分析：
将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出n的最大值．
解答：
解：
n200=（n2）100，5300=（125）100，
所以n2＜125，最大整数n=11．
故选D．
点评：
本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．
4．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（ ）
A．
4倍
B．
3倍
C．
2倍
D．
1.5倍
考点：
分式方程的应用．3071545
专题：
行程问题．
分析：
如果设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b，那么当甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行到相遇时所用时间为．又相遇后甲行驶1小时到达B站，根据甲由A车站行驶到B车站的时间不变可列出方程=+1①，同样，乙再行驶4小时到达A站，根据乙由B车站行驶到A车站的时间不变可列出方程=+4②，将方程①②变形，即可求出的值，从而得出正确选项．
解答：
解：
设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b．
由题意，有．
变形得，
两式相除，得．
故选C．
点评：
本题考查分式方程在行程问题中的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．行程问题常用的基本关系式为路程=速度×时间，解题时，紧紧抓住行程问题的三个基本量：
路程、速度、时间进行分析．注意本题所设未知数有三个，但只能列出两个方程，不能求出未知数的具体值，将两个方程变形，求出a与b的比值即可．
5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
考点：
面积及等积变换．3071545
专题：
几何图形问题．
分析：
如图所示，设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，从而结合图形可得出关于s的一个等式，然后将选项代入判断即可得出答案．
解答：
解：
设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，
s=（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，
∵ac+ad=4，bc=6，da+bd=8，
∴18﹣ad=s，
∴ac=s﹣14，
三式相乘，得a（c+d）•bc•d（a+b）=abcds=4×6×8，ads=32①；
又ac=s﹣14，bd=s﹣10，所以abcd=（s﹣14）（s﹣10），6ad=（s﹣14）（s﹣10）②；
由①②得s（s﹣14）（s﹣10）=192，
用四个选项的值验证，当阴影面积为7时s=16，s（s﹣14）（s﹣10）=16×2×6=192成立．
故选C．
点评：
本题考查面积及等积变换，有一定难度，在解答本题时将图形合适的分解是解答本题的关键．
6．（4分）如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（ ）
A．
cosα
B．
sin2α
C．
cos2α
D．
1﹣sinα
考点：
相似三角形的判定与性质；圆周角定理．3071545
分析：
CD与AB平行，则△CDE与△ABE相似，要求△CDE，△ABE的面积之比，只需求出两三角形的相似比；连接AD，构造直角三角形，然后利用锐角三角形函数求出相似比，面积比等于相似比的平方．
解答：
解：
连接AD，
∵AB∥DC，
∴△CDE∽△ABE，
∴S△CDE：
S△ABE=，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠AED=，
∵∠AED=α，
∴=cosα，
∴S△CDE：
S△ABE==cos2α．
故选C．
点评：
本题结合锐角三角形函数考查了相似三角形的性质，两三角形相似，面积比等于相似比的平方．
7．（4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（ ）
A．
a＞b
B．
a＜b
C．
a=b
D．
与勺子大小有关
考点：
分式的混合运算．3071545
专题：
应用题．
分析：
设各杯的量为1，一勺的量为x．第一次：
咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：
咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为，分别计算再进行比较即可．
解答：
解：
设各杯的量为1，一勺的量为x．
第一次：
咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；
第二次：
咖啡杯里的奶油量为，
奶油杯里的咖啡量为．
所以a=b．
故选C．
点评：
此题考查分式的混合运算在实际生活中的应用，理清题意，找到等量关系是关键．
8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
钝角三角形
C．
直角三角形
D．
都有可能
考点：
三角形内角和定理．3071545
专题：
推理填空题．
分析：
由3A＞5B，3C＜2B，得到3A+2B＞5B+3C，则A＞B+C，不等式两边加A，得到2A＞A+B+C，在利用三角形的内角和定理得A＞90°，即可判断三角形的形状．
解答：
解：
∵3A＞5B，2B＞3C，
∴3A+2B＞5B+3C，
即A＞B+C，
不等式两边加A，
∴2A＞A+B+C，而A+B+C=180°，
∴2A＞180°，即A＞90°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选B．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理：
三角形的三个内角的和为180°．也考查了代数式的变形能力以及三角形的分类．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□
1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2 ．
考点：
有理数的加法．3071545
专题：
计算题．
分析：
先将数字1，2，3，4，5，6，7，8相加可得36，再将1，9，8，6相加可得24，又（36+24）÷4=60÷4=15，可知每组数字的和为15等式成立．
解答：
解：
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+9+8+6=24，
36+24=60，
60÷4=15，
∴1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2．
故答案为：
8，6，5，1，3，4，7，2．
点评：
本题考查了有理数的加法，趣味性较强，有一定的难度，找准每组数字的和是解题的关键．
10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 ．
考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．3071545
专题：
计算题．
分析：
过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F，根据O为等边△ABC的中新可得OE=OF，即四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，故求四边形OEBF的面积即可解题．
解答：
解：
过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F，
∵O为等边△ABC的中心，∴OE=OF，
所求四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，
即正三角形面积的．
正三角形的面积为×2×=，
故四边形OABC的面积=，
故答案为．
点评：
本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形中心为角平分线、中线、高线、垂直平分线的交点，本题中求证四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积是解题的关键．
11．（5分）计算：
= ．
考点：
分母有理化．3071545
专题：
计算题．
分析：
一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．注意解答本题要进行两次分母有理化．
解答：
解：
原式===．
故应填．
点评：
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
12．（5分）五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了 6 场，E队比赛了 2 场．
考点：
有理数的加减混合运算．3071545
分析：
由A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场可知，A和全部对手进行了比赛，D除A外都没有比，B除D外都比过，C和DE没有比，推出E得比赛场次，再算出一共得比赛场次即可解得．
解答：
解：
每队要进行4场比赛
∵A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，
∴D只和A比赛，没和其他队比赛，B和ACE都进行了比赛，C和AB举行了比赛，E和AB进行了比赛，故E队比赛了2场，到这一天为止一共已经赛了（4+3+2+1+2）÷2=6场．
故答案为6、2．
点评：
本题主要考查学生的逻辑推理能力，注意两队进行1场比赛，最后的场次相加应除以2．
13．（5分）（2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是 2＜r≤4 ．
考点：
直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形．3071545
分析：
根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解答：
解：
由图可知，r的取值范围在OC和CD之间．
在直角三角形OCD中，∠AOB=30°，OC=4，
则CD=OC=×4=2；
则r的取值范围是2＜r≤4．
点评：
解答本题要画出图形，利用数形结合可轻松解答．注意：
当d=半径时，有一个交点，故r＞2．
14．（5分）如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1 = ∠2（填“＞”、“＜”或“=”）
考点：
等腰直角三角形；勾股定理．3071545
分析：
先过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，利用勾股定理求出EF=BF=，再证明Rt△DCE与Rt△AFE相似即可得出答案．
解答：
解：
过E作EF⊥AB，
设CA=CB=3，AB=3
AD=AC=1，CD=2
CE=BC=1，EB=2
EF=BF=
AF=AB﹣BF=3﹣=2，
所以=，
所以，Rt△DCE与Rt△AFE相似．
所以，∠1=∠2．
故填：
=．
点评：
此题考查学生对等腰直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是过E作EF⊥AB，这是此题的突破点，然后利用相似三角形即可证明，此题属于中档题．
三、解答题（共3小题，满分38分）
15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级
（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？
请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明
（1）中哪种方案成本最低？
最低成本是多少元？
考点：
一元一次不等式组的应用．3071545
专题：
方案型．
分析：
（1）摆放50个园艺造型所需的甲种和乙种花卉应＜现有的盆数，可由此列出不等式求出符合题意的搭配方案来；
（2）根据两种造型单价的成本费可分别计算出各种可行方案所需的成本，然后进行比较；也可由两种造型的单价知单价成本较低的造型较多而单价成本较高的造型较少，所需的总成本就低．
解答：
解：
（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个，依题意得
解这个不等式组得，
∴31≤x≤33
∵x是整数，
∴x可取31，32，33
∴可设计三种搭配方案
①A种园艺造型31个B种园艺造型19个
②A种园艺造型32个B种园艺造型18个
③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．
（2）方法一：
由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为
33×800+17×960=42720（元）
方法二：
方案①需成本31×800+19×960=43040（元）
方案②需成本32×800+18×960=42880（元）
方案③需成本33×800+17×960=42720（元）
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．
点评：
本题主要考查不等式在现实生活中的应用，运用了分类讨论的思想进行比较．
16．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：
AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：
AD+BD=CD．
考点：
圆周角定理；全等三角形的判定与性质．3071545
专题：
证明题．
分析：
（1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）根据已知条件得，∠CED=∠CDE=45°，则DE=CD，从而证出结论．
解答：
证明：
（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；
（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．
点评：
本题是一道综合题，考查了圆周角定理和全等三角形的判定和性质，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？
若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
考点：
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定．3071545
专题：
压轴题；动点型．
分析：
（1）把BA，AD，DC它们的和求出来再除以速度每秒5个单位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的长；
（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，用t分别表示QC，BA，AP，然后就可以得出关于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）①当点E在CD上运动时，如图2分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，然后根据已知条件可以证明△ABF≌△DCH，根据全等三角形的性质可以得到FH=AD=75，BF=CH=30，DH=AF=40，再求出tanC=，在Rt△CQE中，QE，QC就可以用t表示，这样射线QK扫过梯形ABCD的面积为S也可以用t表示了；
②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=
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