立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版.doc

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圆梦教育中心立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究

1球与柱体

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1球与正方体

如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。

常见组合方式有三类：

一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；

二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；

三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.

通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。

例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）

A． B． C． D．

1.2球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径

例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）

A. B.4π C. D.

1.3球与正棱柱

球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。

下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。

设正三棱柱的高为，底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心。

根据几何体的特点，球心必落在高的中点，，借助直角三角形的勾股定理，可求。

例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.

2球与锥体

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

2.1球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。

如图4，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接为正四面体的高。

在截面三角形,作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面。

因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。

此时，则有解得：

这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.

例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）

A.B.2+C.4+D.

球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]

2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。

常见两种形式：

一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。

如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，设，则。

二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）。

例5在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。

2.3球与正棱锥

球与正棱锥的组合，常见的有两类，

一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.

二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

例6在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的

角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）

A．　B.　C.4　D.

2.4球与特殊的棱锥

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。

例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。

如图8，三棱锥,满足面，，取的中点为，由直角三角形的性质可得：

所以点为三棱锥的外接球的球心,则.

例7矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是（）

A.B.C.D.

3球与球

对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.

例8在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（）

4球与几何体的各条棱相切

球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.

如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：

.

例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）

A.B.C.D.

综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

外接球内切球问题

1.（陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）

A．B．C．D．

答案　B

2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。

解:

在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.

3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　　．

答案8

4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．B．C．D．

答案A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。

5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）

A.2B.C.D.

答案D

6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）

A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9

答案C

7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．

答案

8.（天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．

答案

9.（全国Ⅱ理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。

如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.

答案

A

B

C

P

D

E

F

10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．

答案

11.（辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.

答案

12.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （）

A． B．

C． D．以上都不对

答案C

13.（吉林省吉林市）设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）

A．B．2πC．4π D．

答案C

14（新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

15．（辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.

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