抛物线提高训练题(含详细答案).doc

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A　　抛物线

1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是（　　）

A．（2,0）B．（－2,0）

C．（4,0）D．（－4,0）

2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝±4xB．y2＝±8x

C．y2＝4xD．y2＝8x

3．已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

A．2B．3

C.D.

4．点A，B在抛物线x2＝2py（p>0）上，若A，B的中点是（x0，y0），当直线AB的斜率存在时，其斜率为（　　）

A.B.

C.D.

5．[2010·福建卷]以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（　　）

A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0

C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0

6．[2010·山东卷]已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝2D．x＝－2

7．[2010·陕西卷]已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为（　　）

A.B．1C．2D．4

8．[2010·辽宁卷]设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝（　　）

A．4B．8

C．8D．16

9．[2011·东北三校模拟]已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．

10．[2010·浙江卷]设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，点A（0,2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

11．给定抛物线C：

y2＝4x，过点A（－1,0），斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.

12．（13分）[2011·西城一模]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．

（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：

线段AB中点的横坐标为定值．

13．（12分）[2011·西城一模]已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．

（1）求证：

以线段FA为直径的圆与y轴相切；

（2）若＝λ1，＝λ2，∈，求λ2的取值范围．

B　　抛物线

1．若点P（x，y）到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P（x，y）的轨迹方程为（　　）

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．x2＝8yD．x2＝－8y

2．抛物线x2＝（2a－1）y的准线方程是y＝1，则实数a＝（　　）

A.B.C．－D．－

3．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是（　　）

A．1B．2C．4D．6

4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）B．（－∞，2]

C．[0,2]D．（0,2）

5．已知A，B是抛物线y2＝2px（p>0）上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是（　　）

A．x＝pB．x＝3p

C．x＝pD．x＝p

6．已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（　　）

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|

B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2

C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|

D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|

7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

A.B．3

C.D.

8．已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为（　　）

A．4B．8

C．16D．32

9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

10．[2010·全国卷Ⅱ]已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的准线为l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.

11．[2010·重庆卷]已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB的中点P到准线的距离为________．

12．（13分）[2012·珠海模拟]在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：

x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

（1）求动点Q的轨迹方程C；

（2）设圆M过A（1,0），且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？

请说明理由．

图K50－1

13．（12分）[2010·湖北卷]已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

（1）求曲线C的方程；

（2）是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？

若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

A

1．B　[解析]由y2＝－8x，易知焦点坐标是（－2,0）．

2．B　[解析]抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.

3．A　[解析]设动点p到直线l2的距离之和为d，直线l2：

x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F（1,0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（1,0）到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.

4．D　[解析]设A（x1，y1），B（x2，y2），则x＝2py1，x＝2py2，两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＝2p（y1－y2），即kAB＝＝＝.

5．D　[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为（1,0），即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.

6．B　[解析]抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，

将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，

所以＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，

准线方程为x＝－1.

7．C　[解析]方法1：

∵抛物线的准线方程为x＝－，圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝16.

∴3－＝4，∴p＝2.

方法2：

作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切于点（－1,0），所以－＝－1，解得p＝2.

8．B　[解析]设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4，∵直线AF的斜率为－，∴∠AFB＝60°.在Rt△ABF中，|AF|＝＝8.又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.

9．－　[解析]抛物线方程为x2＝y，故其准线方程是y＝－＝1，解得a＝－.

10.　[解析]设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝.

11．±　[解析]过点A（－1,0），斜率为k的直线为y＝k（x＋1），与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），有x1＋x1＝，x1x2＝1.

因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即＝6，解得k＝±.

而此时k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±.

12．[解答]

（1）由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k（x－4）．由已知，抛物线C的焦点坐标为（1,0），因为点F到直线l的距离为，所以＝，

解得k＝±，所以直线l的斜率为±.

（2）证明：

设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线MN的斜率为，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为，

直线AB的方程为y－y0＝（x－x0），

联立方程

消去x，得y2－y0y＋y＋x0（x0－4）＝0，

所以y1＋y2＝，

因为N为AB中点，所以＝y0，即＝y0，

所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.

13．[解答]

（1）证明：

由已知F，设A（x1，y1），

则y＝2px1，

圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，

圆的半径为＝×＝，

所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．

（2）解法一：

设P（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由＝λ1，＝λ2，得

＝λ1（－x1，y0－y1），

＝λ2，

所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1（y0－y1），

－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，

由y2＝－λ2y1，得y＝λy.

又y＝2px1，y＝2px2，

所以x2＝λx1.

代入－x2＝λ2，得－λx1＝λ2，（1＋λ2）＝x1λ2（1＋λ2），

整理得x1＝，

代入x1－＝－λ1x1，得－＝－，

所以＝1－，

因为∈，所以λ2的取值范围是.

解法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：

x＝my＋，

将x＝my＋代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，

所以y1y2＝－p2（*）．

由＝λ1，＝λ2，得

＝λ1（－x1，y0－y1），

＝λ2，

所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1（y0－y1），

－x2＝λ2，y2＝－λ2y1，

将y2＝－λ2y1代入（*）式，得y＝，

所以2px1＝，x1＝.

代入x1－＝－λ1x1，得＝1－，

因为∈，所以λ2的取值范围是.

B

1．C　[解析]点P（x，y）到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P（x，y）到点F（0,2）的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.

2．D　[解析]根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.

3．B　[解析]焦点坐标是（1,0），A（1,2），B（1，－2），|AB|＝4，故△OAB的面积S＝|AB||OF|＝×4×1＝2.

4．B　[解析]设点Q的坐标为，由|PQ|≥|a|，得y＋2≥a2，整理，得y（y＋16－8a）≥0，∵y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2，所以a≤2.

5．D　[解析]A（x0，y0），则B（x0，－y0），由于焦点F，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF.由此得×＝－1，把y＝2px0代入得x0＝，故直线AB的方程是x＝p.

6．C　[解析]由抛物线定义，2＝＋，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.

7．A　[解析]依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.

8．B　[解析]∵抛物线C：

y2＝8x的焦点为F（2,0），准线方程为x＝－2，∴K（－2,0），

设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（－2，y0），∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－（－2）＝x0＋2，

∴由BK2＝AK2－AB2得y＝（x0＋2）2，即8x0＝（x0＋2）2，解得x0＝2，∴A（2，±4），∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.

9．y2＝4x　[解析]设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：

x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×2＝4，故y2＝4x.

10．2　[解析]过B作BE垂直于准线l于E，∵＝，∴M为AB中点，∴|BM|＝|AB|.又斜率为，∠BAE＝30°，∴|BE|＝|AB|，∴|BM|＝|BE|，

∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.

11.　[解析]设A（xA，yA），B（xB，yB），则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3（xB＋1）．①

由几何关系，xA－1＝3（1－xB）．②

联立①②，得xA＝3，xB＝，∴所求距离d＝＋1＝.

12．[解答]

（1）依题意知，

点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵|PQ|是点Q到直线l的距离．

点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，

其方程为：

y2＝2x（x>0）．

（2）弦长|TS|为定值．理由如下：

取曲线C上点M（x0，y0），M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，

圆的半径r＝|MA|＝，

则|TS|＝2＝2，

因为点M在曲线C上，所以x0＝，

所以|TS|＝2＝2，是定值．

13．[解答]

（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足－x＝1（x>0）．

化简得y2＝4x（x>0）．

（2）设过点M（m,0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16（t2＋m）>0，

于是①

又＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），

·<0⇔（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝x1x2－（x1＋x2）＋1＋y1y2<0.②

又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0，

⇔＋y1y2－[（y1＋y2）2－2y1y2]＋1<0.③

由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2

由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0），且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是（3－2，3＋2）．