离心率的五种求法.docx

离心率的五种求法.docx

《离心率的五种求法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离心率的五种求法.docx（7页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

离心率的五种求法

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．

一、直接求出，求解

已知标准方程或易求时，可利用离心率公式来求解。

例1.过双曲线C：

的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）

A. B. C. D.

分析：

这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：

易知A（-1，0），则直线的方程为。

直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

二、变用公式，，整体求出

例2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

分析：

本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：

因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，则，从而选A。

1.设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（C）

A.B.2C.D.

解：

由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即.

2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

答案：

C

【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，

，即，

3.过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【解析】因为，再由有即从而可得，故选B

三、构造、的齐次式，解出

根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。

例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

【解析】对于椭圆，因为，则

1.设和为双曲线（）的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．3

【解析】由有,则,故选B.

2.双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（）

ABCD

解：

如图所示，不妨设，，，则

，又，

在中，由余弦定理，得,

即，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故选B

3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

解析：

选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：

，

则一个焦点为

一条渐近线斜率为：

，直线的斜率为：

，，

，解得.

5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）

A. B. C. D.

解：

由

6.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（B）

A． B． C． D．

解

8．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A B C D

6.解析：

连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，

双曲线的离心率为，选D。

9.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（）

A　B　　C　　　D

10.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

解：

由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，

又,∴,两边平方，得，整理得，

得或，又，∴，∴，∴，故选A

11.知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.　　B.　　C.　　D.

解：

如图，设的中点为，

把P点坐标代人双曲线方程，有，

化简得解得，故选D

四、第二定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例4：

设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .

解：

如图所示，是过且垂直于轴的弦，

∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，

1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（）

ABCD

解：

2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

ABCD

五、构建关于的不等式，求的取值范围

1．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

ABCD

2．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

1.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C

2.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D

3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）

A．B．C．D．

解析：

满足的点总在椭圆内部，所以c

4.设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）

A． B． C． D．

7