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2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷）逐题解析

理科数学

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题目1】（2017·新课标全国Ⅱ卷理1）1.（）

A．B．C．D．

【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力.

【解析】解法一：

常规解法

解法二：

对十法

可以拆成两组分式数，运算的结果应为形式，（分子十字相乘，

分母为底层数字平方和），（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.

解法三：

分离常数法

解法四：

参数法

，解得

故

【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：

1.复数的

几何意义（2016年）；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；

5.复数的模

【题目2】（2017·新课标全国Ⅱ卷理2）2.设集合，．若，则（）

A．B．C．D．

【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目

的.

【解析】解法一：

常规解法

∵∴1是方程的一个根，即，∴

故

解法二：

韦达定理法

∵∴1是方程的一个根，∴利用伟大定理可知：

，解得：

，故

解法三：

排除法

∵集合中的元素必是方程方程的根，∴，从四个选项A﹑B﹑C﹑D

看只有C选项满足题意.

【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义

相结合，集合考点有二：

1.集合间的基本关系；2.集合的基本运算.

【题目3】（2017·新课标全国Ⅱ卷理3）3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目

的.

【解析】解法一：

常规解法

一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即

，塔的顶层为；由等比前项和可知：

，解得

解法二：

边界效应

等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴.

【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必

有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所

占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难

度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，

1.等差数列通向公式及其前项和；2.等比数列通向公式及其前项和.

【题目4】（2017·新课标全国Ⅱ卷理4）4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.

【解析】解法一：

常规解法

从三视图可知：

一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：

切割前圆柱

切割中

切割后几何体

从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：

从左图可知：

剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体

积为，，，∴；上面阴影的体积是上

面部分体积的一半，即，与的比为高的比（同底），

即，，故总体积.

第二种体积求法：

，其余同上，故总体积

【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面

积（表面积，侧面积等）；3.求棱长；4.视图本质考查（推断视图，展开图，空间直角坐标系视

图）；5.视图与球体综合联立，其中前三个方面考的较多.

【题目5】（2017·新课标全国Ⅱ卷理5）5.设，满足约束条件，则的最小值是（）

A．B．C．D．

【命题意图】本题主要考查线性规划问题，以考查考生数形结合的数学思想方法运用为目的，

属于过渡中档题.

【解析】解法一：

常规解法

根据约束条件画出可行域（图中阴影部分）,作直线，平移直线，

将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，

可得，即.

y=-3

2x+3y-3=0

2x-3y+3=0

解法二：

直接求法

对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的

为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分

别为﹑﹑，故，.

解法三：

隔板法

首先看约束条件方程的斜率

约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；

其次排序

按照坐标系位置排序﹑﹑；

再次看目标函数的斜率和前的系数

看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；

最后画初始位置，跳格，找到最小值点

目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为

最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点

即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，

可得，即.

【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常考查数学的数形结合能力，一般

变化只在两个方向变化，1.约束条件的变化；2.目标函数的变化；约束条件变化从封闭程度方面

变化，目标函数则从方程的几何意义上变化，但此题型属于高考热点题型（已知封闭的约束条

件，求已知的二元一次方程目标函数），此题型属于过渡中档题，只需多积累各题型解决的方法

即可.

【题目6】（2017·新课标全国Ⅱ卷理6）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力

为主.

【解析】解法一：

分组分配之分人

首先分组

将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可

能；

其次排序

两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能.

解法二：

分组分配之分工作

工作分成三份有种可能，在把三组工作分给3个人有可能，共计有36种可能.

解法三：

分组分配之人与工作互动

先让先个人个完成一项工作，有种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有

种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以，共计有36种可能.

解法四：

占位法

其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有中可能；剩下的两项工作

由剩下的两个人去完成，即有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.

解法五：

隔板法和环桌排列

首先让其环桌排列，在插两个隔板，有种可能，在分配给3人工作有种可能，按分

步计数原理求得结果为36种可能.

【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎二者是隔一

年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一

项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.

【题目7】（2017·新课标全国Ⅱ卷理7）7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩

【命题意图】本题考查推理与证明的有关知识，考查考生推理论证能力.

【解析】解法一：

假设法

甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道

自己的成绩要么良，要么优，丙同样也是，当乙看到丙的成绩，一定知道自己的成绩，但是丙一

定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判

断自己的成绩，丁同学也一定知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.

解法二：

选项代入法

当我们不知道如何下手,则从选项入手，一一假定成立，来验证我们的假设是否成立，略

【知识拓展】推理与证明近两年属于热点考题，2016年的第15题（理）﹑第16题（文），今年

的理（7）﹑文（9），属于创新题，突出新颖，但题的难度不大，需要考生冷静的思考，抓住主

要知识要点，从而能够快速做题，属于中档题.

【题目8】（2017·新课标全国Ⅱ卷理8）8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）

A．2B．3C．4D．5

【命题意图】本题考查程序框图的知识，意在考查考生对循环结构的理解与应用.

【解析】解法一：

常规解法

∵，，，，，∴执行第一次循环：

﹑﹑

；执行第二次循环：

﹑﹑；执行第三次循环：

﹑﹑

；执行第四次循环：

﹑﹑；执行第五次循环：

﹑﹑

；执行第五次循环：

﹑﹑；当时，终止循环，输出，

故输出值为3.

解法二：

数列法

，，裂项相消可得；执行第一次循环：

﹑

﹑，当时，即可终止，，即，故输出

值为3.

【题目9】（2017·新课标全国Ⅱ卷理9）9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2B．C．D．

【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想.

【解析】解法一：

常规解法

根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到

渐进线的距离为，∴圆心到渐近线的距离为，即，解得.

解法二：

待定系数法

设渐进线的方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为，

∴圆心到渐近线的距离为，即，解得；由于渐近线的斜率与离心率

关系为，解得.

解法三：

几何法

从题意可知：

，为

等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为，

由于，可得，

渐近线的斜率与离心率关系为，解得.

解法四：

坐标系转化法

根据圆的直角坐标系方程：

，可得极坐标方程，由可得极

角，从上图可知：

渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以，

渐近线的斜率与离心率关系为，解得.

解法五：

参数法之直线参数方程

如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵，∴点的坐标为，代入圆方程中，

解得.

【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量

相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上

位置，但难度逐年下降.

【题目10】（2017·新课标全国Ⅱ卷理10）10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力

【解析】解法一：

常规解法

在边﹑﹑﹑上分别取中点﹑

﹑﹑，并相互连接.

由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面

直线和所成的夹角为或其补角，

通过几何关系求得，，

，利用余弦定理可求得异面直线

和所成的夹角余弦值为.

解法二：

补形

通过补形之后可知：

或其补角为异面

直线和所成的角，通过几何关系可知：

，，，由勾股定理

或余弦定理可得异面直线和所成的

夹角余弦值为.

解法三：

建系

建立如左图的空间直角坐标系，，，，

∴，

∴

解法四：

投影平移-三垂线定理

设异面直线和所成的夹角为

利用三垂线定理可知：

异面直线和所成的夹角余弦值为.

【知识拓展】立体几何位置关系中角度问题一直是理科的热点问题，也是高频考点，证明的方

法大体有两个方向：

1.几何法；2.建系；几何法步骤简洁，但不易想到；建系容易想到，但计算

量偏大，平时复习应注意各方法优势和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍.

【题目11】（2017·新课标全国Ⅱ卷理11）11.若是函数的极值点，则的极小值为（）

A.B.C.D.1

【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运

算求解能力.

【解析】解法一：

常规解法

∵∴导函数

∵∴

∴导函数

令，∴，

当变化时，，随变化情况如下表：

极大值

极小值

从上表可知：

极小值为.

【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都

会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低.

【题目12】（2017·新课标全国Ⅱ卷理12）12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）

A.B.C.D.

【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生

转化与化归思想和运算求解能力

【解析】解法一：

建系法

连接，，，.

，∴

∴

∴，∴

∴最小值为

解法二：

均值法

∵，∴

由上图可知：

；两边平方可得

∵，∴

∴，∴最小值为

解法三：

配凑法

∵

∴

∴最小值为

【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通

法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

【题目13】（2017·新课标全国Ⅱ卷理13）13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．

【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力.

【解析】解法一：

一般解法

随机变量，

【知识拓展】离散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分

布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.

【题目14】（2017·新课标全国Ⅱ卷理14）14.函数（）的最大值是．

【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思

想和运算求解能力

【解析】解法一：

换元法

∵，

∴

设，，∴

函数对称轴为，∴

【知识拓展】此类问题属于热点题型，2016年二卷（文11）﹑2010年和2014广西卷均出现此

题型，解决方法相同，但二卷近几年不会再出了.

【题目15】（2017·新课标全国Ⅱ卷理15）15.等差数列的前项和为，，，则．

【命题意图】本题主要考查等差数列通向公式及其前项和以及叠加法求和，

【解析】解法一：

常规解法

∵，，∴

∵，∴∴

∵∴∴

∴

【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉这个条件，此处属于

易错点.

【题目16】（2017·新课标全国Ⅱ卷理16）16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查考生的转化与

化归思想运算求解的能力

【解析】解法一：

几何法

∵点为线段的中点

∴

【知识拓展】本题从抛物线定义入手，定比分点求坐标，这是基础概念题，课本习题常有练习.

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

【题目17】（2017·新课标全国Ⅱ卷理17）17.（12分）

的内角的对边分别为,已知．

（1）求

（2）若,面积为2,求

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知，将转化为角的方程，思维方向有两个：

①利用降幂公式化简，结合求出；②利用二倍角公式，化简，两边约去，求得，进而求得.在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．

（Ⅰ）

【基本解法1】

由题设及，故

上式两边平方，整理得

解得

【基本解法2】

由题设及，所以，又，所以，

（Ⅱ）由，故

又

由余弦定理及得

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

【题目18】（2017·新课标全国Ⅱ卷理18）18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：

kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：

旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

【命题意图】概率统计,独立检验等知识的综合运用

【基本解法】

（Ⅰ）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，

于是P（A）=0.62×0.66=0.4092

（Ⅱ）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：

箱产量<50kg

箱产量≥50kg

合计

旧养殖法

100

新养殖法

100

合计

104

200

所以

，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（III）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg的频率为0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，则有

（55-x）×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.50

解得x=52.3529

因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35。

【知识拓展】首先，先表示事件，再写出其发生的概率，将未知事件用已知事件表示，依据事件间的关系，求出未知事件的概率.统计的基本原理是用样本估计总体.独立性检验，先填2*2列联表，再计算,与参考值比较，作出结论；中位数的计算要根据中位数以左其频率和为50%.求面积和计算频率.

【题目19】（2017·新课标全国Ⅱ卷理19）19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.

（1）证明：

直线平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值

【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解

【标准答案】

（1）证明略；

（2）

【基本解法1】

（1）证明：

取中点为，连接、

因为，所以

因为是的中点，所以，所以

所以四边形为平行四边形，所以

因为平面，平面

所以直线平面

（2）取中点为，连接

因为△为等边三角形，所以

因为平面平面，平面平面，平面

所以平面

因为，所以四边形为平行四边形，所以

所以

以分别为轴建立空间直角坐标系，如图

设，则，所以

设，则，

因为点在棱上，所以，即

所以，所以

平面的法向量为

因为直线与底面所成角为，

所以

解得，所以

设平面的法向量为，则

令，则

所以

所以求二面角的余弦值

【基本解法2】

（1）证明：

取中点为，连接

因为，所以，即

所以四边形为平行四边形，所以

因为平面，平面

所以直线平面

因为是的中点，所以

因为平面，平面

所以直线平面

因为，所以平面平面

因为平面

所以直线平面

（2）同上

【知识拓展】

线面平行的证明一般有两个方向，线面平行的判定或面面平行的性质。

角的求解多借助空间直角坐标系，需要注意两个问题：

（1）题中没有现成的三条线两两垂直，需要先证明后建系；

（2）是指两个法向量的夹角，与二面角相等或互补，需要观察所求二面角是锐二面角还是钝二面角

【题目20】（2017·新课标全国Ⅱ卷理20）20.（12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=-3上，且.证明：

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力

【基本解法】

（Ⅰ）解法一：