全国卷文科2009-2015历年空间几何分类解析试题.docx

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2014（本小题满分12分）

如图，四凌锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA上面ABCD，E为PD的点。

（I）证明：

PB//平面AEC;

（II）设置AP=1，AD=,三凌锥P-ABD的体积V=，求点A到平面PBD的距离。

（2013课标全国Ⅰ，文19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

（1）证明：

AB⊥A1C；

（2）若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

（1）证明：

取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.

（2）解：

由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝.

又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

C

B

A

D

C1

A1

2012.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

（Ｉ）证明：

平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

2011．如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形..

（I）证明：

（II）求AB与平面SBC所成角的大小。

【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。

（II）本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.

又,故,

所以为直角.………………3分

由,,,得平面,所以.

与两条相交直线、都垂直.

所以平面.………………6分

另解:

由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.………………6分

（Ⅱ）由平面知，平面平面.

作,垂足为,则平面ABCD,.

作,垂足为,则.

连结.则.

又,故平面,平面平面.……9分

作,为垂足,则平面.

即到平面的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

设与平面所成的角为,则,.……12分

2010（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：

平面平面;

（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。

（18）解：

（Ⅰ）因为是四棱锥的高，

所以都在平面内，且

所以[来源:

Zxxk.Com]

故平面

（Ⅱ）因为为等腰梯形，.

所以.

因为

所以,.

可得.

等腰梯形的面积为S=……..9分

所以四棱锥的体积为……..12分

2009（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，

（Ⅰ）证明：

是侧棱的中点；

（Ⅱ）求二面角的大小。