人教版高中数学《不等式》全部教案.doc
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不等式专题讲义德胜教育
第一教时
教材：
不等式、不等式的综合性质
目的：
首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称（例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
2．应用：
例一比较与的大小
解：
（取差）-
∴<
例二已知¹0,比较与的大小
解：
（取差）-
∵∴从而>
小结：
步骤：
作差—变形—判断—结论
例三比较大小1．和
解：
∵
∵
∴<
2．和
解：
（取差）-∵
∴当时>；当时=；当时<
3．设且，比较与的大小
解：
∴
当时≤；当时≥
四、不等式的性质
1．性质1：
如果，那么；如果，那么（对称性）
证：
∵∴由正数的相反数是负数
2．性质2：
如果，那么（传递性）
证：
∵，∴，
∵两个正数的和仍是正数∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结：
1．不等式的概念2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：
P5练习P8习题6.11—3
补充题：
1．若，比较与的大小
解：
-=……=∴≥
2．比较2sinq与sin2q的大小（0略解：
2sinq-sin2q=2sinq（1-cosq）
当qÎ（0,p）时2sinq（1-cosq）≥02sinq≥sin2q
当qÎ（p,2p）时2sinq（1-cosq）<02sinq3．设且比较与的大小
解：
当时∴>
当时∴>
∴总有>
第二教时
教材：
不等式基本性质（续完）
目的：
继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程：
一、复习：
不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：
如果，那么（加法单调性）反之亦然
证：
∵∴
从而可得移项法则：
推论：
如果且，那么（相加法则）
证：
推论：
如果且，那么（相减法则）
证：
∵∴
或证：
上式>0………
2．性质4：
如果且,那么；
如果且那么（乘法单调性）
证：
∵∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
时即：
时即：
推论1如果且，那么（相乘法则）
证：
推论1’（补充）如果且，那么（相除法则）
证：
∵∴
推论2如果,那么
3．性质5：
如果，那么
证：
（反证法）假设
则：
若这都与矛盾∴
三、小结：
五个性质及其推论
口答P8练习1、2习题6.14
四、作业P8练习3习题6.15、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知，，，求证：
证：
2．若，求不等式同时成立的条件
解：
3．设，求证
证：
∵∴
又∵∴>0∴
∵∴
∴
4．比较与的大小
解：
-当时∵即
∴∴<
当时∵即
∴∴>
5．若求证：
解：
∵∴∴
∵∴∴
6．若求证：
证：
∵p>1∴
又∵∴
∴∴原式成立
第三教时
教材：
算术平均数与几何平均数
目的：
要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：
一、定理：
如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件
二、定理：
如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
∵∴
即：
当且仅当时
注意：
1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：
定理：
如果，那么
（当且仅当时取“=”）
证明：
∵
∵∴上式≥0从而
指出：
这里∵就不能保证
推论：
如果，那么
（当且仅当时取“=”）
证明：
四、关于“平均数”的概念
1．如果则：
叫做这n个正数的算术平均数
叫做这n个正数的几何平均数
2．点题：
算术平均数与几何平均数
3．基本不等式：
≥
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：
n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4．的几何解释：
A
B
D’
D
C
a
b
以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB则
从而
而半径
五、例一已知为两两不相等的实数，求证：
证：
∵
以上三式相加：
∴
六、小结：
算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：
P11-12练习1、2P12习题5.21--3
补充：
1．已知，分别求的范围
（8,11）（3,6）（2,4）
2．试比较与（作差>）
3．求证：
证：
三式相加化简即得
第四教时
教材：
极值定理
目的：
要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：
二、复习：
算术平均数与几何平均数定义，平均不等式
三、若，设
求证：
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：
∵
∴即：
（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
例一、若求证
证：
由幂平均不等式：
四、极值定理
已知都是正数，求证：
1°如果积是定值，那么当时和有最小值
2°如果和是定值，那么当时积有最大值
证：
∵∴
1°当（定值）时，∴
∵上式当时取“=”∴当时有
2°当（定值）时，∴
∵上式当时取“=”∴当时有
注意强调：
1°最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
2°用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
五、例题
1．证明下列各题：
⑴
证：
∵∴
于是
⑵若上题改成，结果将如何？
解：
∵
于是
从而
⑶若则
解：
若则显然有
若异号或一个为0则∴
2．①求函数的最大值
②求函数的最大值
解：
①∵∴∴当即时
即时
②∵∴
∴
∴当时
3．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
解：
∵∴
∴=
当且仅当即时
六、小结：
1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
七、作业：
P12练习3、4习题6.24、5、6
补充：
下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
1°时
2°
3°时
第五教时
教材：
极值定理的应用
目的：
要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：
八、复习：
基本不等式、极值定理
九、例题：
1．求函数的最大值，下列解法是否正确？
为什么？
解一：
∴
解二：
当即时
答：
以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当即时
2．若，求的最值
解：
∵∴
从而
即
3．设且，求的最大值
解：
∵∴
又
∴
即
4．已知且，求的最小值
解：
当且仅当即时
十、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？
最大容积是多少？
解：
设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
当且仅当即时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
十一、作业：
P12练习4习题6.27
补充：
1．求下列函数的最值：
1°（min=6）
2°（）
2．1°时求的最小值，的最小值
2°设，求的最大值（5）
3°若,求的最大值
4°若且，求的最小值
3．若，求证：
的最小值为3
4．制作一个容积为的圆柱形容器（有底有盖），问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？
（不计加工时的损耗及接缝用料）
第六教时
教材：
不等式证明一（比较法）
目的：
以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：
作差——变形——判断——结论
二、作差法：
（P13—14）
1．求证：
x2+3>3x
证：
∵（x2+3）-3x=
∴x2+3>3x
2．已知a,b,m都是正数，并且a证：
∵a,b,m都是正数，并且a0,b-a>0
∴即：
变式：
若a>b，结果会怎样？
若没有“a3．已知a,b都是正数，并且a¹b，求证：
a5+b5>a2b3+a3b2
证：
（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（a5-a3b2）+（b5-a2b3）
=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）
=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）
∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0
又∵a¹b，∴（a-b）2>0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）>0
即：
a5+b5>a2b3+a3b2
4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m¹n，问：
甲乙两人谁先到达指定地点？
解：
设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，
则：
可得：
∴
∵S,m,n都是正数，且m¹n，∴t1-t2<0即：
t1从而：
甲先到到达指定地点。
变式：
若m=n，结果会怎样？
三、作商法
5．设a,bÎR+，求证：
证：
作商：
当a=b时，
当a>b>0时，
当b>a>0时，
∴（其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：
作差、作商
五、作业：
P15练习
P18习题6.31—4
第七教时
教材：
不等式证明二（比较法、综合法）
目的：
加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：
二、比较法：
a）复习：
比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
b）例一、证明：
在是增函数。
证：
设2≤x1∵x2-x1>0,x1+x2-4>0∴
又∵y1>0，∴y1>y2∴在是增函数
三、综合法：
定义：
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。
i.已知a,b,c是不全相等的正数，
求证：
a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc
证：
∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a（b2+c2）≥2abc
同理：
b（c2+a2）≥2abc,c（a2+b2）≥2abc
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc
ii.设a,b,cÎR，
1°求证：
2°求证：
3°若a+b=1,求证：
证：
1°∵∴
∴
2°同理：
，
三式相加：
3°由幂平均不等式：
∴
iii.a,b,cÎR,求证：
1°
2°
3°
证：
1°法一：
,两式相乘即得。
法二：
左边
≥3+2+2+2=9
2°∵
两式相乘即得
3°由上题：
∴
即：
三、小结：
综合法
四、作业：
P15—16练习1，2
P18习题6.31，2，3
补充：
1．已知a,bÎR+且a¹b，求证：
（取差）
2．设aÎR，x,yÎR，求证：
（取商）
3．已知a,bÎR+，求证：
证：
∵a,bÎR+∴∴
∴
∴
∴
∴
4．设a>0,b>0，且a+b=1，求证：
证：
∵∴∴
∴
第八教时
教材：
不等式证明三（分析法）
目的：
要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
一、介绍“分析法”：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
二、例一、求证：
证：
∵综合法：
只需证明：
∵21<25
展开得：
∴
即：
∴
∴∴
即：
21<25（显然成立）∴
∴∴
例二、设x>0，y>0，证明不等式：
证一：
（分析法）所证不等式即：
即：
即：
只需证：
∵成立
∴
证二：
（综合法）∵
∵x>0，y>0，∴
例三、已知：
a+b+c=0，求证：
ab+bc+ca≤0
证一：
（综合法）∵a+b+c=0∴（a+b+c）2=0
展开得：
∴ab+bc+ca≤0
证二：
（分析法）要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0
故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2
即证：
即：
（显然）
∴原式成立
证三：
∵a+b+c=0∴-c=a+b
∴ab+bc+ca=ab+（a+b）c=ab-（a+b）2=-a2-b2-ab
=
例四、（课本例）证明：
通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
证：
设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，
周长为l的正方形边长为，截面积为
问题只需证：
>
即证：
>
两边同乘，得：
因此只需证：
4>p（显然成立）
∴>也可用比较法（取商）证，也不困难。
三、作业：
P18练习1—3及习题6.3余下部分
补充作业：
1．已知0略证：
只需证：
∵00
故只需证：
即证：
∵1+cosq>0
只需证：
即只需证：
即：
（成立）
2．已知a>b>0，q为锐角，求证：
略证：
只需证：
即：
（成立）
3．设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：
略证：
正弦、余弦定理代入得：
即证：
即：
即证：
（成立）
第九教时
教材：
不等式证明四（换元法）
目的：
增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。
过程：
四、提出课题：
（换元法）
五、三角换元：
例一、求证：
证一：
（综合法）
∵
即：
∴
证二：
（换元法）∵∴令x=cosq,qÎ[0,p]
则
∵∴
例二、已知x>0,y>0，2x+y=1，求证：
证一：
即：
证二：
由x>0,y>0，2x+y=1，可设
则
例三：
若，求证：
证：
设，
则
例四：
若x>1，y>1，求证：
证：
设
则
例五：
已知：
a>1,b>0,a-b=1，求证：
证：
∵a>1,b>0,a-b=1∴不妨设
则
∵,∴0小结：
若0≤x≤1，则可令x=sinq（）或x=sin2q（）。
若，则可令x=cosq,y=sinq（）。
若，则可令x=secq,y=tanq（）。
若x≥1，则可令x=secq（）。
若xÎR，则可令x=tanq（）。
六、代数换元：
例六：
证明：
若a>0，则
证：
设
则
（当a=1时取“=”）
∴
即∴原式成立
七、小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。
八、作业：
1．若，求证：
2．若|a|<1，|b|<1，则
3．若|x|≤1，求证：
4．若a>1,b>0,a-b=1，求证：
5．求证：
6．已知|a|≤1，|b|≤1，求证：
第十教时
教材：
不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：
要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：
放缩法与反证法
十、放缩法：
例一、若a,b,c,dÎR+，求证：
证：
记m=
∵a,b,c,dÎR+
∴
∴1例二、当n>2时，求证：
证：
∵n>2∴
∴
∴n>2时,
例三、求证：
证：
∴
十一、反证法：
例四、设0（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a,不可能同时大于
证：
设（1-a）b>,（1-b）c>,（1-c）a>,
则三式相乘：
ab<（1-a）b•（1-b）c•（1-c）a<①
又∵0同理：
以上三式相乘：
（1-a）a•（1-b）b•（1-c）c≤与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：
a,b,c>0
证：
设a<0,∵abc>0,∴bc<0
又由a+b+c>0,则b+c=-a>0
∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0与题设矛盾
又：
若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0
同理可证：
b>0,c>0
十二、作业：
证明下列不等式：
1．设x>0,y>0,,，求证：
a放缩法：
2．lg9•lg11<1
3．
4．若a>b>c,则
5．
左边
6．
7．已知a,b,c>0,且a2+b2=c2，求证：
an+bn∵，又a,b,c>0,∴
∴
8．设0（2-a）c,（2-b）a,（2-c）b,不可能同时大于1
仿例四
9．若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2
反设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾
第十一教时
教材：
不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：
要求学生
升级会员 