人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结.docx

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第二章《数列》基础知识小结

一、数列的概念与表示方法

1、数列的概念

按照一定顺序排列的一列数叫做数列。

2、数列的通项公式

如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

3、通项公式的作用

①求数列中任意一项；

②检验某数是否是该数列中的一项.

4、数列的分类

①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列

②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列

5、数列的递推公式

如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。

6、数列前n项和的定义

一般地，我们称a1+a2+a3+⋯+an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+⋯+an

二、等差数列与等比数列

等差数列

等比数列

1、定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q（q≠0）表示。

2、等差（比）中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项.

若A是a与b的等差中项，则A=a+b2。

如果在a，b两个数中间插入一个数G，使a，G ，b成等比数列。

这时，G叫做a与b的等比中项.

①、a与b是两个同号的非零实数

②、若G是a与b的等比中项，则G2=ab

3、判断等差（比）数列的方法

①an-an-1=d

②2an=an-1+an+1（n≥2）

③an=pn+q

①anan-1=q（q≠0，n≥2）

②an2=an-1∙an+1（n≥2）

③an=cqn（c≠0，q≠0）

4、等差（比）数列的通项公式

①an=a1+（n-1）d

②an=am+n-md

③an=pn+q，其中p、q是常数

①an=a1qn-1

②an=amqn-m

③an=cqn（c≠0，q≠0）

5、性质1

在等差数列{an}中，若已知am与an，其中m，n∈N*，则该数列的公差d=an-amn-m。

若等比数列{an}中，公比是q（q≠0），则anam=qn-m。

6、性质2

在等差数列{an}中，若m+n=p+q且m、n、p、q∈N*，则am+an=ap+aq。

特别地、在等差数列{an}中，若2s=p+q且s、p、q∈N*，则2as=ap+aq。

在等比数列{an}中，若m+n=s+t（m，n，s，t∈N*），则am∙an=as∙at。

特别地，等比数列{an}中，若2m=s+t（m，s，t∈N*），则am2=as∙at。

7、性质3

等差数列{an}的公差为d，若m、n、k∈N*，则am，am+k ，am+2k ，…，am+（n-1）k ，…构成一个公差kd为等差数列（其中m与k为常数）。

在等比数列{an}公比为q（q≠0）中，若m，k∈N*，则am，am+k，am+2k，…，am+n-1k，…构成一个公比为qk的等比数列。

8、性质4

若数列{an}与{bn}分别是公差为d1和d2的等差数列，则数列{pan+qbn} （p，q是常数）是公差为pd1+qd2的等差数列。

若{an}和{bn}分别是公比为p和q的等比数列，则数列{an∙bn}，{anbn}仍是等比数列，它们的公比分别为pq，pq。

9、等差（比）数列的单调性

①若d>0，则{an}为递增数列；

②若d<0，则{an}为递减数列；

③若d=0，则{an}为常数列。

①当q=1时，{an}为常数列；

②当q<0时，{an}为摆动数列；

③当q>1，a1>0时，{an}为递增数列；

④当q>1，a1<0时，{an}为递减数列；

⑤当00时，{an}为递减数列；

⑥当0

10、等差（比）数列的前n项和公式

①Sn=n（a1+an）2

②Sn=na1+n（n-1）2d

当q=1时，Sn=na1；

当q≠1时，Sn=a1-anq1-q或Sn=a1（1-qn）1-q

11、前n项和的性质1

①当d=0时，Sn=a1n，是关于n的一个缺少常数项的一次函数，数列{Sn}图象是直线y=a1x上一群孤立的点；

②当d≠0时，Sn=d2n2+a1-d2n，是关于n的一个缺少常数项的二次函数，数列{Sn}图象是抛物线y=d2x2+a1-d2x上一群孤立的点。

①当q=1时，Sn=na1，数列{Sn}的图象是函数y=a1x上的一群孤立的点；

②当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q=a11-q-a11-qqn，设A=a11-q，则Sn=A-Aqn，此时，数列{Sn}的图象是函数y=A-Aqx的图象上一群孤立的点。

12、前n项和的性质2

等差数列前n项和的性质2：

等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，⋯（k∈N*）是等差数列，其公差等于k2d。

等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，⋯（k∈N*）是等比数列，其公比等于qk。

13、前n项和的性质3

等差数列{an}的前n项和为Sn，项数为2n（n∈N*）项，则①S2n=n（an+an+1），②S偶-S奇=nd，③S奇S偶=anan+1；

等差数列{an}的前n项和为Sn，项数为2n-1（n∈N*）项，则①S2n-1=（2n-1）an，②S奇-S偶=an，③S奇S偶=nn-1.

在等比数列中，若项数为2n（n∈N*），则S偶S奇=q

三、典型题型小结

1、三（四）个数成等差（比）的设法

四个数成等差数列常设为a-3d，a-d ，a+d ，a+3d ，公差为2d 。

若三个数成等差数列常设为a-d ，a ，a+d，公差为d 。

已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为aq，a，aq，其中q为公比。

若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为aq3，aq，aq，aq3，因为这种设法使得四个数的公比为q2，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。

2、求数列最大（小）值的方法

一般方法——解不等式an>an-1an>an+1；或an

特别地，若{an}为等差数列，Sn为它的前n项的和时，求Sn的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；②{an}中项的符号。

3、求数列通项的常用方法

①观察法:

根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；

②公式法：

利用an=S1   n=1,Sn-Sn-1   n≥2.求通项公式

③根据递推公式求通项公式：

（1）迭代法：

对于形如an=f（an-1）型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使an与初始值a1 （或a2）建立联系的方法就是迭代法．

（2）累加法：

形如an+1-an=f（n）的递推公式可用an-a1=an-an-1+ an-1-an-2+⋯+a3-a2+a2-a1=fn-1+fn-2+⋯+f2+f

（1）求出通项；

（3）累乘法：

形如an+1an=f（n）的递推公式可用an=anan-1∙an-1an-2∙⋯∙a3a2∙a2a1∙a1=f（n-1）∙f（n-2）∙⋯∙f

（2）∙f

（1）∙a1求出通项；

（4）形如an+1=pan+f（n）（p≠0，a1=a）形式可用待定系数法。

4、数列求和的常用方法

①公式求和法：

公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前n项和的公式，如：

1+2+3+⋯+n=12n（n+1）；12+22+32+⋯+n2=16n（n+1）（2n+1）

②错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前n项和时一般采用（乘公比q）错位相减法．如若公比是字母，须对q=1或q≠1进行讨论．

③裂项相消法：

把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．如：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1nn+1-1n+1n+2] ，（4）1a+b= 1a-b（a-b）。

④倒序相加法：

当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前n项和．

⑤分组求和法：

有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了．

⑥已知等差数列{an}，求数列{|an|}的方法。

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