上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷.doc
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上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）函数的定义域是．
2．（3分）函数y=x﹣2的单调增区间是．
3．（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=．
4．（3分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．
5．（3分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是．
6．（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1
（2）=．
7．（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=．
8．（3分）已知函数y=x2﹣2ax在区间上的最大值比最小值大，则a=．
11．（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则logab=．
12．（3分）若函数y=|ax﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是．
二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）
A． B．
C． f（x）=x0，g（x）=1 D．
14．（3分）函数f（x）=（）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是非奇非偶函数 D． 既是奇函数，又是偶函数
15．（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）
A． （﹣1，1） B． （﹣∞，0）∪（0，+∞） C． （﹣1，0）∪（0，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
16．（3分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）
A． 是单调增函数
B． 没有单调减区间
C． 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间
D． 没有单调增区间
三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（8分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．
18．（10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）xa+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．
（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；
（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？
若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=
（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？
最大年利润为多少元？
（注：
利润=总收益﹣总成本）
20．（10分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；
（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．
（1）求证：
函数f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求实数m的取值范围；
（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．
上海市嘉定区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.
1．（3分）函数的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠0}．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
计算题．
分析：
要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可．
解答：
解：
要使函数有意义，需满足
解不等式组，得x≥﹣1，且x≠0
∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠0}
故答案为{x|x≥﹣1，且x≠0}
点评：
本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立．
2．（3分）函数y=x﹣2的单调增区间是（﹣∞，0）．
考点：
函数的单调性及单调区间．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．
解答：
解：
函数y=x﹣2为偶函数，在（0，+∞）内为减函数，
则在（﹣∞，0）内为增函数，
故函数的增区间为（﹣∞，0），
故答案为：
（﹣∞，0）
点评：
本题主要考查函数单调区间的求解，根据幂函数的性质是解决本题的关键．
3．（3分）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg6=a+b．
考点：
对数的运算性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用对数的运算性质把要求的式子化为lg（2×3）=lg2+lg3，再把已知条件代入求得结果．
解答：
解：
原式=lg（2×3）=lg2+lg3=a+b．
故答案为：
a+b．
点评：
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
4．（3分）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据指数函数的定义，底数大于0且不等于1，求出实数a的取值范围．
解答：
解：
∵函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，
∴，
解得a＞1且a≠2；
∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．
故答案为：
（1，2）∪（2，+∞）．
点评：
本题考查了指数函数的概念以及应用问题，是基础题目．
5．（3分）若函数f（x）=（x＞0）是减函数，则实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．
考点：
函数单调性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据反比例函数的单调性即可求得m的取值范围．
解答：
解：
根据反比例函数的单调性，若f（x）是减函数；
则m+1＞0，m＞﹣1；
∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．
故答案为：
（﹣1，+∞）．
点评：
考查反比例函数的一般形式，及反比例函数的单调性．
6．（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1
（2）=4．
考点：
反函数．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
求出原函数的反函数，然后直接取x=2求得f﹣1
（2）．
解答：
解：
由y=f（x）=（x≥0），得x=y2（y≥0），
x，y互换得，y=x2（x≥0）．
∴f﹣1（x）=x2（x≥0）．
则f﹣1
（2）=22=4．
故答案为：
4．
点评：
求反函数，一般应分以下步骤：
（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；
（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域），是基础题．
7．（3分）若函数f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，则a=2．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
运用定义判断得出即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即可求解，
解答：
解：
∵f（x）=x2+（a是常数）是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即x2﹣=x2+恒成立，
a﹣2=0，
即a=2
故答案为：
2
点评：
本题考查了函数的性质，运用偶函数定义判断求解，属于容易题．
8．（3分）已知函数y=x2﹣2ax在区间上的最大值比最小值大，则a=或．
考点：
指数函数的图像与性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据指数函数的单调性，分a＞1时和0＜a＜1两种情况，解得a的值．
解答：
解：
由题意可得，当a＞1时，函数f（x）在区间上单调递增，f
（2）﹣f
（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．
当0＜a＜1时，函数f（x）在区间上单调递减，f
（1）﹣f
（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．
故答案为：
或．
点评：
本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．（3分）若函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则logab=3．
考点：
函数的值域．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
画函数=的图象，结合图象，使得在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），求出a与b的值，在计算logab．
解答：
解：
函数=，图象如下图：
不难验证f（8）==2，
∴函数图象上点A的坐标为（8，2）
要使函数在区间（a，b）上的值域是（2，+∞），则a=2、b=8
∴logab=log28=3
故答案为：
3
点评：
本题主要考查函数的值域，结合图象解决是解决的关键．
12．（3分）若函数y=|ax﹣1|（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=的图象有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．
考点：
函数的图象．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
先作出函数y=|ax﹣1|图象，再由直线y=与函数y=|ax﹣1|的图象有2个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．
解答：
解：
由题意知a＞0且a≠1
①当a＞1时，作出函数y=|ax﹣1|图象：
若直线y=与函数y=|ax﹣1|的图象有两个公共点
由图象可知0＜＜1，解得0＜a＜2，
故a的取值范围是（0，1）∪（1，2）；
②当0＜a＜1时，同理也可得a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．
故答案为：
（0，1）∪（1，2）．
点评：
本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，解答的关键是数形结合的思想方法．
二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分.
13．（3分）下列四组函数中，函数f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）
A． B．
C． f（x）=x0，g（x）=1 D．
考点：
判断两个函数是否为同一函数．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．
解答：
解：
对于A，f（x）==|x|（x∈R），与g（x）==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；
对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一个函数；
对于C，f（x）=x0=1（x≠0），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一个函数；
对于D，f（x）=|x|=（x∈R），与g（x）=（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一个函数．
故选：
D．
点评：
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
14．（3分）函数f（x）=（）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是非奇非偶函数 D． 既是奇函数，又是偶函数
考点：
函数奇偶性的判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
求解定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，运用解析式得出f（﹣x）=﹣f（x）判断即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=，
∴定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，
∵f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
故选：
A．
点评：
本题考查了奇函数的定义，运用定义判断，属于容易题，难度不大，容易忽视定义域的判断．
15．（3分）若关于x的方程2x=a2有负实数根，则实数a的取值范围是（）
A． （﹣1，1） B． （﹣∞，0）∪（0，+∞） C． （﹣1，0）∪（0，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
考点：
根的存在性及根的个数判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意可得a2=2x∈（0，1），解关于a的不等式可得．
解答：
解：
∵关于x的方程2x=a2有负实数根，
∴存在负实数x使得a2=2x，
当x＜0时，2x∈（0，1），
∴a2∈（0，1），解得a∈（﹣1，0）∪（0，1）
故选：
C
点评：
本题考查根的存在性及个数的判断，涉及对数函数的值域，属基础题．
16．（3分）已知函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x）＜f（x+1），则f（x）在R上（）
A． 是单调增函数
B． 没有单调减区间
C． 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间
D． 没有单调增区间
考点：
抽象函数及其应用．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由题意取分段函数f（x）=，再取函数f（x）=x；从而得到答案．
解答：
解：
取函数f（x）=；
故由这个函数可知，
A，B不正确；
若f（x）=x；则D不正确；
故选C．
点评：
本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，属于基础题．
三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（8分）已知集合，集合B={x||x﹣1|≤4}，求A∩B．
考点：
交集及其运算．
专题：
集合．
分析：
求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
解答：
解：
由＞得：
﹣=＞0，
即（x﹣4）（x+2）＞0，
解得：
x＜﹣2或x＞4，即A=（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
由|x﹣1|≤4得：
﹣4≤x﹣1≤4，解得：
﹣3≤x≤5，即B=，
则A∩B=．
点评：
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18．（10分）已知函数f（x）=（a2﹣a+1）xa+2为幂函数，且为奇函数，设函数g（x）=f（x）+x．
（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；
（2）是否存在自然数n，使g（n）=900？
若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
考点：
幂函数的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）根据幂函数的定义，和奇函数的定义先求出a的值，再根据零点求法，零点转化为g（x）=0的实数根，解方程即可
（2）根据函数为增函数，然后验证f（9）=738，f（10）=1010，即可得出．
解答：
解：
（1）令a2﹣a+1=1，解得a=0或a=1．…（1分）
当a=0时，f（x）=x2，它不是奇函数，不符合题意；
当a=1时，f（x）=x3，它是奇函数，符合题意．
所以a=1．…（3分）
此时g（x）=x3+x．
令g（x）=0，即x3+x=0，解得x=0．
所以函数g（x）的零点是x=0．…（5分）
（2）设函数y=x3，y=x．因为它们都是增函数，所以g（x）是增函数．…（7分）
又因为g（9）=738，g（10）=1010．…（9分）
由函数的单调性，可知不存在自然数n，使g（n）=900成立．…（10分）
点评：
本题主要考查函数的零点与方程的实数根的联系，以及函数的单调性与函数值问题．
19．（12分）某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）=
（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？
最大年利润为多少元？
（注：
利润=总收益﹣总成本）
考点：
分段函数的应用．
专题：
应用题；函数的性质及应用．
分析：
（1）由于年产量是x台，则总成本为元，从而分段写出函数解析式即可；
（2）当0≤x≤500时，利用配方法y=﹣（x﹣400）2+60000求最值，当x＞500时，利用单调性可得y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．从而解得．
解答：
解：
（1）由于年产量是x台，则总成本为元．
当0≤x≤500时，y=500x﹣x2﹣，
即y=﹣x2+400x﹣20000；
当x＞500时，y=125000﹣，
即y=105000﹣100x．
所以；
（2）当0≤x≤500时，
y=﹣（x﹣400）2+60000，
所以当x=400时，ymax=60000；
当x＞500时，y=105000﹣100x是减函数，
即y=105000﹣100x＜105000﹣100×500=55000．
综上，当x=400时，ymax=60000．
即当年产量为400台时，该科技公司所获得的年利润最大，
最大年利润为60000元．
点评：
本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．
20．（10分）已知函数f（x）=k•2x+2﹣x（k是常数）．
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；
（2）若对于任意x∈，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．
考点：
函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）运用f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，求解得出k=﹣1，
（2））解法1：
对于任意x∈，不等式都成立．转化为对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，
只需k＜（﹣t2+t）min即可．
解法2：
对于任意，不等式k•t2﹣t+1＜0都成立．又令g（t）=k•t2﹣t+1．分类讨论求解转化为不等式组求解即可．
解答：
解：
（1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
令x=0，所以f（0）=0，即k•20+20=0，即k+1=0，解得k=﹣1，
此时f（x）=﹣2x+2x，因为f（﹣x）=﹣2﹣x+2x，即f（﹣x）=﹣（﹣2x+2﹣x），
则f（﹣x）=﹣f（x）．所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=﹣1．
（2）解法1：
由题意知对于任意x∈，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．
即对于任意x∈，不等式都成立．
因为2x＞0，则对于任意x∈，不等式都成立．
令，则，且对于任意，不等式k＜﹣t2+t都成立，
只需k＜（﹣t2+t）min即可．
因为，所以，
即（﹣t2+t）min=﹣56，因此k＜﹣56．
解法2：
由题意知对于任意x∈，不等式k•2x+2﹣x＜1都成立．
因为2x＞0，所以对于任意x∈，不等式k•（2x）2﹣2x+1＜0都成立．
令t=2x，则，且对于任意，不等式k•t2﹣t+1＜0都成立．
又令g（t）=k•t2﹣t+1．
①当k=0时，g（t）=﹣t+1，，不符合题意；
②当k＞0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向上，则得，
即；
③当k＜0时，函数g（t）=k•t2﹣t+1图象的开口向下，对称轴是直线，
函数g（t）在区间上是减函数，则得，即，
解得：
k＜﹣56．
综上：
k＜﹣56，
点评：
本题综合考查了函数的性质，不等式的性质，运用分类讨论，基本不等式求解，属于综合题，难度较大．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣（x∈（0，+∞））．
（1）求证：
函数f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）在上的值域是（0＜a＜b），求实数m的取值范围；
（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x﹣1）＞4x成立，求实数m的取值范围．
考点：
函数单调性的性质；函数的值域．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）设x1、x2是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，用单调性的定义证明；
（2）由
（1）知，函数f（x）是增函数，则得，即．由此式a、b可视为方程的两个不相等的正实数根，用韦达定理限制即可；
（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即为．因为x∈（1，+∞），上述不等式即为．
令，结合二次函数的性质解决．
解答：
（1）证明：
设x1、x2是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=﹣=
因为x1、x2是∈（0，+∞）），即x1x2＞0，
又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0．
于是f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
因此，函数f（x）是增函数．
（2）解：
由
（1）知，函数f（x）是增函数，
则得，
即．
所以a、b可视为方程的两个不相等的正实数根，
于是，解得．
（3）不等式f（x﹣1）＞4x，即为．
因为x∈（1，+∞），上述不等式即为．
令，则其图象对称轴是直线．
①，解得m∈∅；
②，即，解得．
综上，所求实数m的取值范围是．
点评：
本题主要考查函数的综合应用，关键是抓住条件，方程与函数相互转化，同时考查二次函数的有关性质，是一道综合题．
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