数列求和练习题.docx

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数列求和练习题

1．已知数列的前项和为，若，，则（）

A．90B．121C．119D．120

2．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）

（A）（B）（C）（D）

3．数列中,，则此数列前30项的绝对值的和为（）

A.720B.765C.600D.630

4．数列的前项和为，若，则等于

A．B．C．D．

5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝（　　）

A.B.C.D.

6．设是等差数列的前项和，已知，则等于（　　）

A.13

B.35

C.49

D.63

7．等差数列的前n项和为=（）

A．18 B．20 C．21 D．22

8．等差数列的前项和为，且，则公差等于（）

（A）（B）（C）（D）

9．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）

A．6B．7C．8D．9

10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于

A．58B．88C．143D．176

11．已知数列的前项和为,则的值是（）

A．-76B．76C．46D．13

12．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为（　　）

A．12B．14C．15D．16

13．等差数列中，若，，则的前9项和为（）

A．297　B．144C．99D．66

一、解答题（题型注释）

14．已知数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等比数列，公比为且，求数列的前项和.

15．已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和.

16．设数列的前项和，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

17．已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值．

18．已知数列的前项和，数列满足．

（1）求数列的通项；

（2）求数列的通项；

（3）若，求数列的前项和．

19．已知数列的前项和为，且2.

（1）求数列的通项公式；

（2）若求数列的前项和.

20．已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足b1=1，b3+b7=18，且（n≥2）.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn.

21．已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

22．设数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和

二、填空题

23．已知等比数列的各项均为正数，若，，则此数列的其前项和

24．已知等差数列中，，，则前10项和．

25．设等比数列的前项和为,已知则的值为．

26．设是等差数列的前项和,且，则．

27．等差数列中，，那么．

28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比q＝________.

29．在等差数列中，,则的前5项和=.

30．已知等差数列中，已知，则=________________.

31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是.

32．（2013•重庆）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　_________　．

33．数列的通项公式，它的前n项和为，则_________．

34．[2014·浙江调研]设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1（n≥2），则Sn＝________.

参考答案

1．D

【解析】，

，

，解得．

【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力．

2．B

【解析】

试题分析：

∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.

考点：

等差数列通项公式及前n项和公式

3．B

【解析】

试题分析：

因为，所以。

所以数列是首项为公差为3的等差数列。

则，令得。

所以数列前20项为负第21项为0从弟22项起为正。

数列前项和为。

则。

故B正确。

考点：

1等差数列的定义；2等差数列的通项公式、前项和公式。

4．D

【解析】

试题分析：

因为.所以.

考点：

1.数列的通项的裂项.2.数列的求和.

5．B

【解析】依题意知，q4＝1，又a1>0，q>0，则a1＝.又S3＝a1（1＋q＋q2）＝7，于是有（＋3）（－2）＝0，因此有q＝，所以S5＝＝，选B.

6．C

【解析】在等差数列中，，选C.

7．B

【解析】

试题分析：

，即，解得.

考点：

1.等差数列的通项，和式；2.等差数列性质（下标关系）.

8．C

【解析】

试题分析：

∵，即，∴，∴＝，∴．

考点：

等差数列的通项公式与前n项和公式．

9．A

【解析】

试题分析：

设公差为，则，解得。

（法一）所以。

令得。

所以数列前6项为负，从第7项起为正。

所以数列前6项和最小；（法二），所以当时取得最小值。

故A正确。

考点：

1等差数列的通项公式；2等差数列的前项和公式。

10．B

【解析】

试题分析：

根据等差数列的性质，

，故选B.

考点：

1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和.

11．A

【解析】

试题分析：

（并项求和法）由已知可知：

，所以，，，因此，答案选A.

考点：

并项求和

12．D

【解析】＝q4＝2，

由a1＋a2＋a3＋a4＝1，

得a1（1＋q＋q2＋q3）＝1，

即a1·＝1，∴a1＝q－1，

又Sn＝15，即＝15，

∴qn＝16，

又∵q4＝2，

∴n＝16.故选D.

13．C

【解析】

试题分析：

∵∴

.

考点：

等差数列的运算性质.

14．

（1）

（2）

【解析】

试题分析：

（1）由求数列通项时利用求解；

（2）借助于数列可求解，从而得到公比，得到前n项和

试题解析：

（1）因为数列的前项和，

所以当时，，

又当时，，满足上式，

（2）由

（1）可知，又，所以.

又数列是公比为正数等比数列，所以，又，所以

所以数列的前项和

考点：

数列求通项公式及等比数列求和

15．

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由题意可知，利用，成等比数列，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；

（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.

试题解析：

（1），即，化简得或.

当时，，得或，

∴，即；

当时，由，得，即有.

（2）由题意可知，

∴①

②，

①-②得：

，

∴.

考点：

1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.

16．

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

本题主要考查由求、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，由求需要分2步：

，在解题的最后需要验证2步是否可以合并成一个式子；第二问，先利用对数式的运算化简的表达式，根据表达式的特点，利用裂项相消法求数列的前n项和.

试题解析：

（1）时，，2分

，∴

∴，

∴数列的通项公式为：

．6分

（2）9分

．12分

考点：

由求、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n项和公式.

17．

（1）．

（2）。

【解析】

试题分析：

（1）令n=1，解出a1=3,（a1=0舍），

由4Sn=an2+2an－3①

及当时4sn－1=+2an-1－3②

①－②得到，

确定得到是以3为首项，2为公差的等差数列.

（2）利用“错位相减法”求和.

试题解析：

（1）当n=1时，解出a1=3,（a1=0舍）1分

又4Sn=an2+2an－3①

当时4sn－1=+2an-1－3②

①－②,即，

∴,4分

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列，

．6分

（2）③

又④

④－③

12分

考点：

等差数列及其求和，等比数列的求和，“错位相减法”.

18．

（1）

（2）（3）

【解析】

试题分析：

（1）利用数列的前项和与第项的关系求解.

（2）由

又可转化为等差数列前项和问题.

（3）由

（1）

（2）可得

所以，

根据和式的特点可考虑用错位相减法解决.

试题解析：

（1）∵,

∴．2分

∴．3分

当时，，

∴4分

（2）∵

∴，

以上各式相加得：

9分

（3）由题意得

∴，

∴，

∴

=，

∴．12分

考点：

1、数列前项和与第项的关系；2、等差数列前项和；3、错位相减法求数列前项和.

19．

（1）;

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由2得两式相减得；

（2）根据，再利用分组求和即可求出结果.

试题解析：

解：

（1）由2.2分

∴（）4分

又时，适合上式。

6分

8分

10分

12分

考点：

1.通项公式和前n项和的关系；2.数列求和.

20．

（1），

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由及进行相减求得与的关系，由等比数列定义可得数列｛｝的通项公式，又由可知数列{bn}是等差数列，进而可求得其通项公式；

（2）易得，其通项为等差乘等比型，可用错位相乘法求其前n项和Tn.

试题解析：

（1）由题意知①，当n≥2时，②，①-②得，即，又，∴，故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，由（n≥2）知，数列{bn}是等差数列，设其公差为d，则，故，综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为.

（2）∵，∴③

④

③-④得，

即，

∴

考点：

与的关系：

，等差与等比数列的定义和通项公式，数列求和方法：

错位相减法.

21．

（1）;

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）先根据等比数列公式求出与的关系式，然后利用与的递推关系求出，从而再求出.

（2）根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前项和.

试题解析：

（1）解：

∵是公比为的等比数列，

∴.1分

∴.

从而，.3分

∵是和的等比中项

∴，解得或.4分

当时，，不是等比数列，5分

∴.

∴.6分

当时，.7分

∵符合，

∴.8分

（2）解：

∵，

∴.①9分

.②10分

①②得11分

12分

.13分

∴.14分

考点：

1、与的递推关系的应用，2、错位相减法求数列前项和.

22．

（1）

（2）

【解析】

试题分析：

解、

（1）当时，

，

当时，，成立，

所以通项5分

（2），则

令，

则.‚，

‚得-

所以，

则12分

考点：

错位相减法求和

点评：

主要是考查了等比数列以及错位相减法求和的运用，属于基础题。

23．

【解析】

试题分析：

由题意，所以，，．

考点：

等比数列的项与前项和．

24．155．

【解析】

试题分析：

设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以由等差数列的求和公式可得前10项和．故应填155．

考点：

等差数列的前项和．

25．1

【解析】

试题分析：

解：

因为数列是等比数列，所以，，，也成等比，

由题设知,=

所以，=

考点：

1、等比数列的概念与通项公式；2、等比数列的前项和公式及等比数殊的性质.

26．

【解析】

试题分析：

因为，所以又成等差数列,所以即

考点：

等差数列性质

27．

【解析】

试题分析：

因为所以

考点：

等差数列性质

28．3

【解析】因为a6－a5＝2（S5－S4）＝2a5，所以a6＝3a5.所以q＝3.

29．15

【解析】

试题分析：

由题意得：

.

考点：

等差数列.

30．.

【解析】

试题分析：

∵等差数列，∴.

考点：

等差数列前项和.

31．

【解析】

试题分析：

设数列的公比为，由得，解得，再由得，即，得.

考点：

等比数列的通项公式、求和公式.

32．64

【解析】∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，

∴=a1•（a1+4d），又a1=1，

∴d2﹣2d=0，公差d≠0，

∴d=2．

∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．

故答案为：

64．

33．99

【解析】

试题分析：

可得前n项和，所以，则.

考点：

数列的求和.

34．

【解析】依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn（n≥2），整理得－＝1，又＝＝1，则数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，因此＝1＋（n－1）×1＝n，即Sn＝.

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