深一模文科数学参考答案.doc
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2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：
本大题每小题5分，满分50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
C
A
D
C
B
C
C
B
5.数列是首项与公比均为的等比数列.
6.利用平行四边形法则做出向量，再平移即发现.
7．从振幅、最小正周期的大小入手：
的振幅最大，故为；的最小正周期最大，故为从而为.
8.圆面的圆心在平面区域内,
则
9.程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若，则.
10.画图即知:
函数的图象与直线有唯一公共点
故两个函数的所有次不动点之和
或利用函数的图象与函数的图象关于直线对称即得出答案.
二、填空题：
本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分），满分20分．
11．.12．.13．．14．．15．.
第13题写或不写都可以，写成如等均可.
11.每个个体被抽入样的概率均为，
在内的频率为
0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10000×0.25＝2500人，则该范围内应当抽取的人数为2500×＝25人.
12.画出左（侧）视图如图,其面积为
13.将各11,12,13,14,15对应的函数值分别写成,,,,,
分母成等差数列,可知分母
14.最长线段即圆的直径.
15.根据射影定理得
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分14分）
已知向量与向量垂直，其中为第二象限角．
（1）求的值；
（2）在中，分别为所对的边，若，求的值．
【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.
解:
（1）,
即……………………3分
为第二象限角,
………………………6分
（2）在中,
…………………………………………9分
……………………11分
……………………14分
17．（本小题满分12分）
M
S
D
C
B
A
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．
（1）证明：
平面；
（2）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．
【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
（1）证明:
平面平面,平面平面,
平面，
平面,…………………1分
平面
…………………2分
四边形是直角梯形，,
都是等腰直角三角形,
………………4分
平面，平面，,
平面…………………………………………6分
（2）解:
三棱锥与三棱锥的体积相等,
由
（1）知平面,
得,……………………………………………9分
设由,
得
从而……………………………12分
18．（本小题满分14分）
已知函数，其中实数是常数．
（1）已知，，求事件A“”发生的概率；
（2）若是上的奇函数，是在区间上的最小值，求当时的解析式．
【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识,考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.
解：
（1）当时，等可能发生的基本事件共有9个：
…………………………4分
其中事件“”，包含6个基本事件：
…………………………4分
故．…………………………6分
答：
事件“”发生的概率.………………7分
（2）是上的奇函数，得………………8分
∴,………………………9分
①当时，因为，所以，在区间上单调递减，
从而；……………………11分
②当时，因为，所以，在区间上单调递增，
从而.……………………13分
综上，知……………………14分
19．（本题满分12分）
A
B
C
D
O
F
E
如图，有一正方形钢板缺损一角（图中的阴影部分），边缘线是以直线AD为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？
并求其最大值．
A
B
C
D
O
F
E
x
y
P
【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.
解法一：
以为原点，直线为轴，
建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴，
故边缘线的方程为.……4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…………6分
由此可求得，.
∴，，…8分
设梯形的面积为，则
.……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为.此时.………11分
答：
当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.………………………………………………………………………12分
解法二：
以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为，
∴，
故边缘线的方程
为.………4分
要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线的的方程可表示为，即，…6分
由此可求得，.
∴，，……………7分
设梯形的面积为，则
.……………………………………………………………10分
∴当时，，
故的最大值为.此时.………11分
答：
当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.………………………………………………………………………12分
20．（本题满分14分）
已知椭圆的左焦点及点，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点关于直线的对称点在圆上，求椭圆的方程及点的坐标．
【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.
解：
（1）由点，点及得直线的方程为，即，…………………2分
∵原点到直线的距离为，
∴………………………………………5分
故椭圆的离心率.…………………………………7分
（2）解法一：
设椭圆的左焦点关于直线的对称点为，则有
…………………………………………10分
解之，得.
在圆上
∴，
∴……………………………………13分
故椭圆的方程为,
点的坐标为………………………………………14分
解法二：
因为关于直线的对称点在圆上，又直线经过
圆的圆心,所以也在圆上,………9分
从而，………………………10分
故椭圆的方程为.………………………………………11分
与关于直线的对称,
…………………………………………12分
解之，得.…………………………………………13分
故点的坐标为………………………………………14分
21．（本小题满分14分）
设数列是公差为的等差数列，其前项和为．
（1）已知，，
（ⅰ）求当时，的最小值；
（ⅱ）当时，求证：
；
（2）是否存在实数，使得对任意正整数，关于的不等式的最小正整数解为?
若存在，则求的取值范围；若不存在，则说明理由．
【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力.
（1）（ⅰ）解:
当且仅当即时,上式取等号.
故的最大值是……………………………………………………4分
（ⅱ）证明:
由（ⅰ）知，
当时,，……6分
，
……………………………………8分
……………………………………9分
（2）对,关于的不等式的最小正整数解为，
当时，；……………………10分
当时，恒有，即,
从而……………………12分
当时,对,且时,当正整数时,
有……………………13分
所以存在这样的实数,且的取值范围是.……………………14分
10
2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）试卷答案及评分标准第页共10页
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