全国高考数学试题广东.doc

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2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长

台体的体积公式

其中、分别表示上、下底面积，表示高。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，那么的真子集的个数是：

（A）15（B）16（C）3（D）4

（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时钟方向旋转，所得向量对应的复数是：

（A）2（B）（C）（D）3+

（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是：

（A）2（B）3（C）6（D）

（4）已知＞，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则＞

（B）若、是第二象限角，则＞

（C）若、是第三象限角，则＞

（D）若、是第四象限角，则＞

（5）函数的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额

税率

不超过500元的部分

5%

超过500元至2000元的部分

10%

超过2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A）800~900元（B）900~1200元（C）1200~1500元（D）1500~2800元

（7）若＞＞1，，则

（A）R＜P＜Q（B）P＜Q＜R（C）Q＜P＜R（D）P＜R＜Q

（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是

（A）（B）

（C）（C）

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（A）（B）（C）（D）

（10）过原点的直线与圆+++3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

（A）（B）（C）（D）

（11）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于

（A）（B）（C）（D）

（12）如图，是圆雏底面中心互母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为

（A）（B）（C）（D）

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号。

题号

二

三

总分

17

18

19

20

21

22

分数

得分

评卷人

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）。

（14）椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是。

（15）设是首项为1的正项数列，且（n+1）（n=1，2，3，…），则它的通项公式是。

（16）如图，E、F分别为正方体面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是。

（要求：

把可能的图序号都填上）

三、解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分

评卷人

（17）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当函数取得最大值时，求自变量的集合；

（Ⅱ）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

得分

评卷人

（18）（本小题满分12分）

设为等比数例，，已知，。

（Ⅰ）求数列的首项和公式；

（Ⅱ）求数列的通项公式。

得分

评卷人

（19）（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD上菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，

（Ⅰ）证明：

C1C⊥BD；

（Ⅱ）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？

请给出证明。

得分

评卷人

（20）（本小题满分12分）

设函数

，其中。

（Ⅰ）解不等式≤1；

（Ⅱ）证明：

当≥1时，函数在区间[0，+∞]上是单调函数。

得分

评卷人

（21）（本小题满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：

市场售价各种植成本的单位：

元/102㎏，时间单位：

天）

得分

评卷人

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为伪点，当时，求双曲线离心率c的取值范围。

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分。

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

A型卷答案

（1）A

（2）B（3）D（4）D（5）D（6）C（7）B（8）C（9）A

（10）C（11）C（12）D

B型卷答案

（1）C

（2）B（3）D（4）D（5）D（6）A（7）B（8）A（9）C（10）A（11）A（12）D

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

（13）252（14）（15）（16）

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。

满分12分。

解：

（1）

。

…………3分

取得最大值必须且只需

即

所以，使函数取得最大值的自变量的集合为

…………6分

（Ⅱ）变换的步骤是：

（1）把函数的图象向左平移得到…………9分

的图象；

（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到

的图象；

经过这样的变换就得到函数的图象。

…………12分

（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分。

（Ⅰ）解：

设等比数列以比为，则

。

…………2分

∵，

∴。

…………4分

（Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知，故,

因此，，…………6分

∴

。

…………12分

解法二：

设。

由（Ⅰ）知。

∴…………6分

∴

（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。

（Ⅰ）证明：

连结、和交于，连结。

∵四边形ABCD是菱形，

∴⊥，=。

又∵∠=∠，=，

∴，

∴B=D，

∵

∴，3分

但，

∴平面。

又平面，

∴。

…………6分

（Ⅱ）当时，能使平面。

证明一：

∵，

∴，

又，

由此可推得。

∴三棱锥是正三棱锥。

…………9分

设与相交于。

∵，且：

：

1，

∴：

=2：

1。

又是正三角形的边上的高和中线，

∴点是正三角形的中心，

∴平面，

即平面。

…………12分

证明：

由（Ⅰ）知，平面，

∵平面，∴。

…………9分

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同的正法可得。

又，

∴平面。

…………12分

（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分。

（Ⅰ）解：

不等式即

，

由此得，即，其中常数。

所以，原不等式等价于

即

…………3分

所以，当时，所给不等式的解集为；

当时，所给不等式的解集为。

…………6分

（Ⅱ）证明：

在区间上任取使得

∵，

∴，

又，

∴，

即。

所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。

…………12分

（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：

（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

。

…………4分

（Ⅱ）设时刻的纯收益为，则由题意得

=，

即

=…………6分

当时，配方整理得

=。

所以，当时，取得区间[0，200]上的最大值100；

当时，配方整理得

=，

所以，当时，取得区间（200，300）上的最大值87.5…………10分

综上，由可知，在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。

…………12分

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。

解：

如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，…………2分

依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得

，

.…………7分

由式得，

将式代入式，整理得

，

故…………10分

由题设得，。

解得，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[]，…………14分