双曲线的简单几何性质(教案).doc
《双曲线的简单几何性质(教案).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《双曲线的简单几何性质(教案).doc(8页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
教案
普通高中课程标准选修2-1
2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)
教材的地位与作用
本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上,进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。
(可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。
)通过本节课的学习,使学生深刻理解双曲线的几何性质,体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。
二、教学目标
(一)知识与技能
1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。
2、理解双曲线的渐近线。
(二)过程与方法
通过联想椭圆几何性质的推导方法,用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质,从而培养学生的观察能力、联想类比能力。
(三)情感态度与价值观
让学生充分体验探索、发现数学知识的过程,深刻认识“数”与“形”的关系,培养学生勇于攀登科学高峰的精神。
三、教学重点难点
双曲线的渐近线既是重点也是难点。
四、教学过程
(一)课题引入
1、前面我们学习了椭圆及其标准方程,并由标准方程推导出椭圆的几何性质,椭圆的几何性质有哪些?
(教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质,双曲线及其标准方程。
)
今天我们以标准方程为工具,研究双曲线的几何性质。
【板书】:
双曲线的性质
2、双曲线有哪些性质呢?
(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。
)
3、双曲线的这些性质具体是什么?
如何推导?
请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法,推导出双曲线的几何性质。
(讨论)
(二)双曲线的性质
1、范围:
把双曲线方程变形为。
因为,因此,即,所以。
又因为,故。
【板书】:
1、范围:
,。
2、对称性:
下面我们来讨论双曲线的的对称性,哪位同学能根据双曲线的标准方程,判断它的对称性?
在标准方程中,把换成,或把换成,或把,同时换成,时,方程都不变,所以图形关于轴、轴和原点都是对称的。
【板书】:
2、对称性:
双曲线的对称轴是轴、轴,原点是它的对称中心。
3、顶点:
提问:
(1)双曲线有几个顶点?
顶点的坐标是什么?
在标准方程中,令得;令,则无解。
这说明双曲线有两个顶点,。
(2)如图,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴,其长度为。
尽管此双曲线与轴无公共点,但轴上的两个特殊的点。
我们称线段为双曲线的虚轴,其长度为。
【板书】:
3、顶点:
,称为实轴,为虚轴,其中。
特别地,当时,双曲线的实轴长与虚轴长相等,称其为等轴双曲线。
4、离心率
【板书】:
4、定义双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率。
提问:
(1)双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同?
(2)双曲线的形状与离心率有什么关系?
由等式,可知:
【板书】:
双曲线的离心率且越大双曲线的开口就越开阔。
5、渐近线:
提问:
(1)椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。
曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面,因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据,那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢?
谁能比较准确地画出双曲线?
在第一象限内双曲线可以化为,是增函数。
因为,所以,即,这个不等式意味着什么?
(它表示直线下方半个平面区域。
)
(用刚才作矩形的方法画出两条直线,然后指出区域。
)
由于双曲线和直线都关于坐标轴对称,所以双曲线(两支)在直线之间,这样,我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。
提问:
(2)直线与双曲线有什么联系呢?
(用几何画板课件演示):
随着无限增大时,点到直线的距离就无限趋于零。
【板书】:
5、渐近线:
直线叫做双曲线的渐近线;直线叫做双曲线的渐近线。
练习:
求下列双曲线的渐近线方程(写成直线的一般式)。
(1)的渐近线方程是:
(2)的渐近线方程是:
(3)的渐近线方程是:
(4)的渐近线方程是:
可以发现,双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。
(启发学生讨论,归纳)。
把双曲线方程中的常数项改为零,会怎样呢?
,即,这就表示两条渐近线
。
【板书】:
结论:
把双曲线标准方程中等号右边的1改成0,然后变形,即可得其渐近线方程。
(三)小结
标准方程
图形
性质
焦点
范围
,
对称性
关于轴,轴,原点都对称
顶点
离心率
渐近线
(四)典型例题与变式训练
例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
解:
把方程化为标准方程
由此可知,半实轴长,半虚轴长;
焦点坐标是;离心率;渐近线方程为。
归纳总结:
首先把方程化为标准方程,看准焦点在哪条轴上,得到a,b,c的值,再由双曲线的几何性质求解。
【变式训练】:
求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例2、求适合下列条件的双曲线标准方程
(1)顶点在轴上,虚轴长为12,离心率为;
(2)顶点间距离为6,渐近线方程为;
解:
(1)设双曲线的标准方程为。
由题意知,且。
∴
∴所求双曲线方程为。
(2)当焦点在轴上时,由且,∴。
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时,由且,∴。
∴所求双曲线方程为
归纳总结:
首先观察条件能否确定焦点位置,再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程,在由条件求出a,b,c即可。
【变式训练】:
2、求符合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)顶点在轴上,两顶点间的距离是8,;
(2)焦距是16,。
(五)课堂总结
椭圆
双曲线
图形
标准方程
范围
,
对称性
关于轴,轴,原点都对称
关于轴,轴,原点都对称
顶点
离心率
渐近线
无
(六)作业:
教材第61页:
习题2.3,第2、3两题。
五、板书设计
1、范围:
,。
2.3.2双曲线的简单几何性质
双曲线的性质
2、对称性:
双曲线的对称轴是轴、轴,原点是它的对称中心。
3、顶点:
,称为实轴,为虚轴,其中。
4、渐近线:
直线叫做…
例题
课堂训练
5、结论:
六、课堂设计说明
1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质,采用类比椭圆的几何性质的推导方法,让学生自己推导出双曲线的几何性质。
在教学中,凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,这样有利于调动学生学习的积极性,有利于激发学生的学习兴趣,使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
2、本节课的难点是双曲线的渐近线,故采取了有目的的,精心巧妙地存疑设问,用悬念激发学生的情趣,促进思考。
结合学生实际,把“共渐近线的双曲线”、“离心率的问题”放到下一节课来完成。
七、课后反思:
8