四川省泸州市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc
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2016-2017学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=1的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
2．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样
3．对于变量x，y有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x与y成负相关的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：
粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S值为（ ）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣16
7．方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B．（2，6）∪（6，10） C．（2，10） D．（2，6）
8．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．直线l过抛物线C：
y2=2px（p＞0）的焦点且与x轴垂直，l与C交于A、B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则p的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．6
10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=4，则C的实轴长为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．8
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2=1，点A（0，3），若圆C上存在点M，满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0] B．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） C．[0，3] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）
12．过双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线C的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
14．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过F1椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为 ．
15．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
16．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差s2是 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ=2sinθ，曲线C3：
ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1分别与曲线C2、C3相交于点A、B（A、B均异于原点O），求|AB|的值．
18．某统计部门就“A市汽车价格区间的购买意愿”对100人进行了问卷调查，并将结果制作成频率分布直方图，如图，已知样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数之比为3：
4．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）估计A市汽车价格区间购买意愿的中位数；
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，再从这6人中随机选取2人作为主要发言人，求在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．
19．已知过点Q（，0）的直线与抛物线C：
y2=4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求证：
y1y2为定值．
（Ⅱ）若△AOB的面积为（O为坐标原点），求直线AB的方程．
20．某班主任为了对本班学生的数学和物理成绩进行分析，随机抽取了8位学生的数学和物理成绩如下表．
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
（Ⅰ）通过对样本数据进行初步处理发现，物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．
（Ⅱ）当某学生的数学成绩为100分时，估计该生的物理成绩．（精确到0.1分）
参考公式：
回归直线的方程是：
=x+，其中=，=﹣．
参考数据：
=1050，≈457，≈688，≈32.4.≈21.4，≈23.5．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x﹣1被圆心在原点O的圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点A在椭圆2x2+y2=4上，点B在直线x=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆C的位置关系，并证明你的结论．
22．设F1、F2分别是离心率为的椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线l被椭圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上，求的取值范围．
2016-2017学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．圆（x﹣2）2+（y+3）2=1的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【考点】圆的标准方程．
【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可．
【解答】解：
圆（x﹣2）2+（y+3）2=1的圆心坐标是：
（2，﹣3）．
故选：
D．
2．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样
【考点】分层抽样方法．
【分析】由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故应采用分层抽样的方法，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样．
【解答】解：
由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故不能采用简单随机抽样，也不能用系统抽样，若直接采用
分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样，此时，每个个体被抽到的概率等于
==，从各层中抽取的人数分别为27×=6，54×=12，
81×=18．
故选D．
3．对于变量x，y有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x与y成负相关的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】散点图．
【分析】观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，是负相关，
y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，是正相关．
【解答】解：
对于A，散点图呈片状分布，不具相关性；
对于B，散点图呈带状分布，且y随x的增大而减小，是负相关；
对于C，散点图中y随x的增大先增大再减小，不是负相关；
对于D，散点图呈带状分布，且y随x的增大而增大，是正相关．
故选：
B．
4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：
粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：
由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
故选：
B．
5．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其焦点坐标以及渐近线方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，双曲线的方程为：
﹣=1，
则其焦点坐标为（±，0），渐近线方程为：
y=±x，即±2y=0，
则其焦点到渐近线的距离d==；
故选：
C．
6．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S值为（ ）
A．﹣1 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣16
【考点】程序框图．
【分析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出s．
【解答】解：
经过第一次循环得到的结果为S=﹣1，n=3，
经过第二次循环得到的结果为S=﹣4，n=5，
经过第三次循环得到的结果为S=﹣9，n=7，
此时不满足判断框中的条件，输出S=﹣9，
故选：
C．
7．方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B．（2，6）∪（6，10） C．（2，10） D．（2，6）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：
根据题意，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则有，
解可得2＜m＜6；
故选：
D．
8．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】茎叶图．
【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．
【解答】解：
将运动员按成绩由好到差分成6组，则
第1组为，第2组为，
第3组为，第4组为，
第5组为，第6组为，
故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．
故选：
C．
9．直线l过抛物线C：
y2=2px（p＞0）的焦点且与x轴垂直，l与C交于A、B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则p的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．6
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，则|AB|=2p，P到AB的距离为p．根据三角形的面积公式，即可求得p的值．
【解答】解：
抛物线C：
y2=2px焦点F（，0），如图所示
由AB⊥x轴，且过焦点F（，0），点P在准线上．
则|AB|=2p．
又P为C的准线上一点，可得P到AB的距离为p．
则S△ABP=丨AB丨•p=•2p•p=36，解得：
p=6，
故选：
B．
10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=4，则C的实轴长为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，设出双曲线方程，由抛物线的几何性质可得抛物线y2=16x的准线方程，则可以设出A、B的坐标，利用|AB|=4，可得A、B的坐标，将其坐标代入双曲线方程可得λ的值，将其变形可得双曲线的标准方程，由实轴的公式计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，要求等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
则可以设其方程为：
x2﹣y2=λ，（λ＞0）
对于抛物线y2=16x，其准线方程为x=﹣4，
设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），
若|AB|=4，则有|y﹣（﹣y）|=4，解可得y=2，
即A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
代入双曲线方程可得：
16﹣4=λ，解可得λ=12，
则该双曲线的标准方程为：
﹣=1，
则a==2，其C的实轴长2a=4；
故选：
C．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2=1，点A（0，3），若圆C上存在点M，满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣3，0] B．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） C．[0，3] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据|MA|=2|MO|求出M的轨迹方程，令M的轨迹圆与圆C有公共点列不等式组解出a．
【解答】解：
设M（x，y），则|MA|=，|MO|=，
∵|MA|=2|MO|，∴x2+（y﹣3）2=4（x2+y2），
整理得：
x2+（y+1）2=4，
M的轨迹是以N（0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆N，
又∵M在圆C上，
∴圆C与圆N有公共点，
∴1≤|CN|≤3，
即1≤≤3，
解得﹣3≤a≤0．
故选：
A．
12．过双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线C的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：
如图，记右焦点为F′，则O为FF′的中点，
∵E为PF的中点，
∴OE为△FF′P的中位线，
∴PF′=2OE=b，
∵E为切点，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵点P在双曲线上，
∴PF﹣PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=b+2a，
在Rt△PFF′中，有：
PF2+PF′2=FF′2，
∴（b+2a）2+b2=4c2，即b=2a，
∴c=a，
∴离心率e==，
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
【解答】解：
由题意可知∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
14．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过F1椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为 20 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】△AF2B为焦点三角形，由椭圆定义可得周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF2B的周长．
【解答】解：
由椭圆的焦点在x轴上，a=5，b=2，
∴|AF1|+|AF2|=2a=10，|BF1|+|BF2|═2a=10，
∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+|（BF1|+|BF2|）
=4a=20，
故答案为：
20．
15．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：
由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12，
∴，∴π=．
故答案为：
．
16．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差s2是 110 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图可估计样本特征数均值、方差．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．
【解答】解：
由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为：
=100×0.010×10+110×0.020×10+120×0.035×10+130×0.030×10+140×0.005×10=120，
∴样本方差S2=（﹣20）2×0.1+（﹣10）2×0.2+02×0.35+102×0.3+202×0.05=110．
∴这500件产品质量指标值的样本方差S2是110．
故答案为：
110．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ=2sinθ，曲线C3：
ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C1分别与曲线C2、C3相交于点A、B（A、B均异于原点O），求|AB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）曲线C1：
（t为参数），可得普通方程，进而得到极坐标方程：
θ=（ρ∈R）．
（II）把θ=代入曲线C2：
ρ=2sinθ，可得ρ1．把θ=代入曲线C3：
ρ=2cosθ，可得ρ2．可得|AB|=|ρ2﹣ρ1|．
【解答】解：
（I）曲线C1：
（t为参数），可得普通方程：
，可得极坐标方程：
θ=（ρ∈R）．
（II）把θ=代入曲线C2：
ρ=2sinθ，可得ρ1=2=1．
把θ=代入曲线C3：
ρ=2cosθ，可得ρ2=2=3．
∴|AB|=|ρ2﹣ρ1=2．
18．某统计部门就“A市汽车价格区间的购买意愿”对100人进行了问卷调查，并将结果制作成频率分布直方图，如图，已知样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数之比为3：
4．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）估计A市汽车价格区间购买意愿的中位数；
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，再从这6人中随机选取2人作为主要发言人，求在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．
【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．
【分析】（Ⅰ）设样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数分别为3k，4k，利用频率分布直方图求出k，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由频率分布直方图得数据区间[5，20）内的频率为0.4，数据区间[20，25）内的频率为0.3，由此能求出A市汽车价格区间购买意愿的中位数．
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，在数据区间[10，15）上选取2人，[20，25）上选取4人，由此利用对立事件概率计算公式能求出在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．
【解答】解：
（Ⅰ）设样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数分别为3k，4k，
则，
解得k=5，∴a=0.03k÷5=0.03，b=0.04k÷5=0.04．
（Ⅱ）由频率分布直方图得数据区间[5，20）内的频率为：
（0.01+0.03+0.04）×5=0.4，
数据区间[20，25）内的频率为：
0.06×5=0.3，
∴A市汽车价格区间购买意愿的中位数为：
20+=．
（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，
则在数据区间[10，15）上选取：
6×=2人，[20，25）上选取：
6×=4人，
从这6人中随机选取2人作为主要发言人，
基本事件总数n=，
在[10，15）的市民中至少有一人被选中的对立事件是选中的2人都在[20，25）内，
∴在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率p=1﹣=．
19．已知过点Q（，0）的直线与抛物线C：
y2=4x交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求证：
y1y2为定值．
（Ⅱ）若△AOB的面积为（O为坐标原点），求直线AB的方程．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ）分直线与x轴垂直和不垂直分析，当直线与x轴垂直时直接求出y1y2．当不垂直时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y1y2为定值；
（Ⅱ）利用弦长公式求出AB的长度，再由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，代入三角形面积公式求得k值，则直线AB的方程可求．
【解答】（Ⅰ）证明：
当直线AB垂直于x轴时，，得．
∴y1•y2=﹣18；
当直线AB不与x轴垂直时，设直线方程为y=k（x﹣）（k≠0），
联立，得ky2﹣2y﹣18k=0．
由根与系数的关系可得：
y1•y2=﹣18．
综上，y1y2为定值；
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）得：
，
∴|AB|==．
O到直线AB的距离d=．
∴，解得k=．
∴直线AB的方程为，即2x+3y﹣9=0或2x﹣3y﹣9=0．
20．某班主任为了对本班学生的数学和物理成绩进行分析，随机抽取了8位学生的数学和物理成绩如下表．
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
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（Ⅰ）通过对样本数据进行初步处理发现，物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．
（Ⅱ）当某学生的数学成绩为100分时，估计该生的物理成绩．（精确到0.1分）
参考公式：
回归直线的方程是：
=x+，其中=，=﹣．
参考数据：
=1050，≈457，≈688，≈32.4.≈21.4，≈23.5．
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果；
（Ⅱ）x=100时，代入线性回归方程，估计该生的物理成绩．
【解答】解：
（Ⅰ）根据所给数据可以计算出≈≈0.66，=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，
所以y与x的线性回归方程是=0.66x+33.73．
（Ⅱ）x=100时，=0.66×100+33.73≈99.7．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x﹣1被圆心在原点O的圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点A在椭圆2x2+y2=4上，点B在直线x=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆C的位置关系，并证明你的结论．
【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设出圆O的半径为r，利用圆心到直线的距离d与弦长的一半组成直角三角形，利用勾股定理求出半径，即可写出圆的方程．
（Ⅱ）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB
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