上海市延安中学2013学年度高二第一学期期末考试(数学)试题.doc
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上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试
高二年级数学试卷
（考试时间：
90分钟 满分：
100分）
班级______________姓名______________学号________________成绩______________
一、填空题（每题3分，共42分）
1、方程组的增广矩阵为___________.
2、抛物线的准线方程是___________.
3、过点和点的直线的倾斜角为___________.
4、执行右边的程序框图，输入，则输出的值是___________.
5、已知点和，点满足，则点的轨迹方程是___________.
6、已知直线过点，则行列式的值为___________.
7、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是___________.
8、已知直线平行于直线，则实数=___________.
9、直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是___________.
10、若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.
11、点是抛物线上的动点，点的坐标为，则的最小值为___________.
12、一条光线从点射到直线后，在反射到另一点，则反射光线所在的直线方程是___________.
13、记直线与坐标轴所围成的直角三角形面积为，则=___________.
14、已知为椭圆上的任意一点，为椭圆的右焦点，点的坐标为，则的最小值为___________.
二、选择题（每题4分，共16分）
15、已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程是（）
（A）； （B）
（C）； （D）.
16、已知直线与直线，“”是“的方向向量是的法向量”的（）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.
17、直线与双曲线的渐近线交于、两点，设为双曲线上的任意一点，若（，为坐标原点），则、满足的关系是（）
（A）； （B）； （C）； （D）.
18、如图，函数的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（）
①渐近线方程是和；
②对称轴所在的直线方程为和；
③实轴长和虚轴长之比为；
④其共轭双曲线的方程为.
（A）1个； （B）2个； （C）3 个； （D）4个.
三、简答题（共42分）
19、（本题6分）已知双曲线与椭圆焦点相同，且其一条渐近线方程为，求该双曲线方程.
20、（本题7分）已知曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都等于1，求曲线的方程.
21、（本题7分）已知直线，求关于直线的对称的直线的方程.
22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）
如图，抛物线的方程为.
（1）当时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点的距离；
（2）已知该抛物线上一点的纵坐标为，过作两条直线分别交抛物线与、，当与的斜率存在且倾斜角互补时，求证：
为定值；并用常数、表示直线的斜率.
23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）
如图，已知椭圆的方程为，且长轴长与焦距之比为，圆的圆心在原点，且经过椭圆的短轴顶点.
（1）求椭圆和圆的方程；
（2）是否存在同时满足下列条件的直线：
①与圆相切与点（位于第一象限）；②与椭圆相交于、两点，使得.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.
上海市延安中学2013学年度第一学期期末考试
高二年级数学试卷
（考试时间：
90分钟 满分：
100分）
班级______________姓名______________学号________________成绩______________
一、填空题（每题3分，共42分）
1、方程组的增广矩阵为___________.
2、抛物线的准线方程是___________.
3、过点和点的直线的倾斜角为____.
4、执行右边的程序框图，输入，则输出的值是_____70_____.
5、已知点和，点满足，则点的轨迹方程是___________.
6、已知直线过点，则行列式的值为_____0_____.
7、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____.
8、已知直线平行于直线，则实数=_____2____.
9、直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是___________.
10、若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.
11、点是抛物线上的动点，点的坐标为，则的最小值为_______.
12、一条光线从点射到直线后，在反射到另一点，则反射光线所在的直线方程是___________.
13、记直线与坐标轴所围成的直角三角形面积为，则=___________.
14、已知为椭圆上的任意一点，为椭圆的右焦点，点的坐标为，则的最小值为______5_____.
二、选择题（每题4分，共16分）
15、已知点和点，动点满足，则点的轨迹方程是（B）
（A）； （B）
（C）； （D）.
16、已知直线与直线，“”是“的方向向量是的法向量”的（A）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.
17、直线与双曲线的渐近线交于、两点，设为双曲线上的任意一点，若（，为坐标原点），则、满足的关系是（B）
（A）； （B）； （C）； （D）.
18、如图，函数的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（D）
①渐近线方程是和；
②对称轴所在的直线方程为和；
③实轴长和虚轴长之比为；
④其共轭双曲线的方程为.
（A）1个； （B）2个； （C）3 个； （D）4个.
三、简答题（共42分）
19、（本题6分）已知双曲线与椭圆焦点相同，且其一条渐近线方程为，求该双曲线方程.
由已知可设双曲线方程为，由于双曲线与椭圆焦点相同，故.
将其化为标准方程，则有，解得，
故双曲线方程为.
20、（本题7分）已知曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都等于1，求曲线的方程.
设曲线上任意一点，则有题意可得，整理得.
又曲线在轴右侧，故，从而曲线的方程为.
21、（本题7分）已知直线，求关于直线的对称的直线的方程.
由已知可求得直线与直线的交点为，故设直线的方程为
由夹角公式可得，解得
从而直线的方程为，即
22、（本题10分，第1小题3分，第2小题7分）
如图，抛物线的方程为.
（1）当时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点的距离；
（2）已知该抛物线上一点的纵坐标为，过作两条直线分别交抛物线与、，当与的斜率存在且倾斜角互补时，求证：
为定值；并用常数、表示直线的斜率.
（1）当时，，代入，解得.
则由抛物线定义可知：
该点到焦点的距离即为其到准线的距离，为.
（2）设，由题意，即，
由于、在抛物线上，故上式可化为
从而有，即为定值.
直线的斜率.
23、（本题12分，第1小题4分，第2小题8分）
如图，已知椭圆的方程为，且长轴长与焦距之比为，圆的圆心在原点，且经过椭圆的短轴顶点.
（1）求椭圆和圆的方程；
（2）是否存在同时满足下列条件的直线：
①与圆相切与点（位于第一象限）；②与椭圆相交于、两点，使得.若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由.
（1）由已知：
，故椭圆的方程为；又圆圆心在原点，半径为，圆的方程为.
（2）存在。
设直线，其与椭圆的交点为，
由条件①可得，即<1>
再由可得
，
由条件②可得
，
进而可化简<2>
综合<1>，<2>可解得，又，故，即
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