延庆区高中数学理一模试卷及答案.doc
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延庆区2017—2018学年度高三模拟试卷
数学（理科）2018.3
本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则
（A）（B）或
（C）（D）或
2.在复平面内，复数的对应点位于的象限是
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3.已知函数是定义域为的奇函数，且，那么
（A）-2（B）0（C）1（D）2
4.已知非零向量则“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
5.若，满足则的最小值为
（A）（B）（C）（D）
6.该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,4,则输出的为
（A）0（B）2
（C）4（D）14
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为
2
1
（A）
正（主）视图
侧（左）视图
1
（B）
（C）
（7题图）
（D）
俯视图
1
8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则的值等于
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.设双曲线的焦点为为该双曲线上的一点，若，则 ．
10.已知，其周期为，则=，当时，函数的最大值为 ．
11.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和6名女教师中，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示）
12.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，则的极径为 ．
13.已知在定义域内均为增函数，但不一定是增函数，例如当=且=时，不是增函数.
14.有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）.现已知每人只从事一个职业，且：
（1）A和来自美国的人他们俩是医生；
（2）B和来自德国的人他们俩是教师；
（3）C会游泳而来自德国的人不会游泳；
（4）A和来自法国的人他们俩一起去打球.
根据以上条件可推测出A是来自国的人，D是来自国的人.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求边c及△ABC的面积.
16.（本小题满分13分）
某车险的基本保费为（单位：
元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85
1.25
1.5
1.75
2
随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
400
270
200
80
40
10
（Ⅰ）记为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求的估计值；
（Ⅱ）某公司有三辆汽车,基本保费均为,根据随机调查表的出险情况,记为三辆车中一年内出险的车辆个数,写出的分布列；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
17.（本小题满分14分）
如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，点分别是线段的中点.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设不等式的解集为，且,求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）
19.（本小题满分14分）
已知椭圆：
过点且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：
的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分13分）
设满足以下两个条件的有穷数列为阶“数列”：
①；②.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的阶和阶“数列”；
（Ⅱ）若2018阶“数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记阶“数列”的前项和为，试证.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2017-2018延庆区一模考试数学（理）评分标准
一、选择题DCDBDBDB
二、填空题9.710.,2或11.5012.2
13.答案不唯一14.英,德（第一空3分第二空2分）
13题参考答案：
三、解答题
15.（Ⅰ）由
………2分
即，………3分
又，∴，得.………5分
（Ⅱ）由余弦定理，………6分
又∵………8分
代入并整理得，故；………11分
………13分
16.（Ⅰ）事件A的人数为：
400+270=670，该险种有1000人续保，所以P（A）的估计值为：
………3分
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，………4分
由出险情况的统计表可知：
一辆车一年内不出险的概率为，
出险的概率为，则………5分
，
，………9分
所以的分布列为：
0
1
2
3
………10分
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估值为：
………13分
17（Ⅰ）如图，取的中点，连接，又是的中点，
所以，且………1分
又是中点，所以，
由四边形是矩形得，，，………2分
所以，，
从而四边形是平行四边形，，………3分
又平面，平面所以平面………4分
法一：
（Ⅱ）如图，在平面内，过点作,因为又因为平面，所以，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，…5分
则………6分
因为平面，所以为平面的法向量，………7分
设为平面的法向量，又
由取得.………9分
从而………10分
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
（Ⅲ）假设在线段存在点，设点的坐标为.………11分
因为
所以，………12分
因为，所以.………13分
所以………14分
法二：
（Ⅱ）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过做垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，
，为平面的法向量，………7分
设为平面的法向量，又
由得取得………9分
从而………10分
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
（Ⅲ）假设在线段存在点，设点的坐标为.………11分
因为
所以，………12分
因为，所以.………13分
所以………14分
18（Ⅰ）所以切线的斜率
又因为，……2分
所以切线方程为.……3分
（Ⅱ）因为不等式的解集为P，且，
所以，对任意的，不等式恒成立，………4分
由得.当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.………5分
将变形得………6分
令，………7分
令，解得；令，解得
从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.………8分
当时，取得最小值，所以实数的取值范围是.……9分
（Ⅲ）当时有一个零点；当无零点
当时有一个零点；当时有两个零点.………13分
19（Ⅰ）由已知得
所以椭圆的方程为…………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或
都有.………6分
当直线的斜率存在时，设直线，
由消去，可得
，由题可知，，有………8分
又可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和
可得………10分
∵，∴………11分
当，即时，………12分
当，即时，
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立.综上，当时，的面积存在最小值为………14分
20.解：
（Ⅰ）数列为单调递增的阶“数列”；
数列为单调递增的阶“数列”.（答案不唯一）┄4分
（Ⅱ）设等差数列的公差为，
因为，所以.即.
所以.于是.┄5分
由于，根据“数列”的条件①②得
，┄6分
两式相减得.即.┄8分
由得，即.┄10分
所以.┄11分
（Ⅲ）当时，显然成立；当时，根据条件①得
，
所以.
所以
.
所以.┄13分
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