正弦定理导学案人教版.doc

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得分：

等级

校级领导审核签字：

得分：

等级

中层领导审核签字：

得分：

等级

备课组长审核签字：

课题：

正弦定理（新课）

学科：

数学年级：

高2015级主备人：

彭江龙

学习目标：

1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

重点：

正弦定理的探索和证明及其基本应用

难点：

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

自主学习

1、三角形的内角和=。

2、三角形的三边之间的关系：

。

3、三角形的边、角之间的关系：

。

4、的基本元素：

。

5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过任意三角形的哪些边角关系？

（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？

________________________________________

6、在△ABC中，若，则________

（一）课题导入

如图，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动.A

思考：

C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

B

C

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大.能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？

引出课题———正弦定理

《设计意图》：

激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。

（二）探索研究：

在三角形，如果已知角A，所对的边BC长为a，角B所对的边AC长为b，角C所对的边AB长为c，研究角A、B、C与边a、b、c之间的关系

首先我们研究特殊的三角形————直角三角形

如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

老师：

要建立角与边之间了连线，就目前而言？

可通过什么建立？

生：

正弦、余弦、正切函数定义。

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又

则

从而在直角三角形ABC中，

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探究2：

那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

学生合作探究，讨论：

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=______=_______，则______=________，

同理可得________=_______，从而．

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．

由学生课后自己推导.

《设计意图》：

激发学生学习兴趣，让学生主动参与，自己摸索探究过程。

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

精讲点评

例1．在中，已知，，cm，解三角形。

分析：

由已知条件，知道两个角的大小，及其中一条边，根据正弦定理可求出另外一条边，另外在已知两个角的大小，还可求出第三个角，故课求出第三条边

例2、（2010山东）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小。

分析：

已知两边，若再已知一角即可，由sinB+cosB=，两边平方可得B的大小，进而可求解。

老师小结：

看清属于哪一类型，明确已知量、未知量；并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

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例3（其它证法：

）

证明一：

（等积法）在任意△ABC当中S△ABC=.

两边同除以即得：

______=_______=______

证明二：

（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，

同理=2R，＝2R.

（证法二）：

过点A作，C

由向量的加法可得

则AB

∴

∴，即

同理，过点C作，可得

从而当为钝角时，同理可得。

当堂练习

1、已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.

　A．1∶1∶4B．1∶1∶2　C．1∶1∶ D．2∶2∶

2、在△ABC中，若，则等于（）

A．B．C．D．

3、在△ABC中，若，则。

4、三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C=，求sinB的值。

变式：

在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。

老师：

属于哪一种类型？

生：

第二种

老师：

应该如何求解？

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课堂总结：

（1）定理的表示形式：

；

或，，

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课后巩固：

A:

1．在△中，若，则等于（）

A．B．C．D．

2．在△ABC中，若，则等于（）

A．B．C．D．

3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

4、已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．

B

1．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（）

A．B．C．D．

2．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形

3.已知ABC中，A，，则=．

4．在△ABC中，，则的最大值是_______________。

5、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

（I）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求c的长．

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南充十一中学案稿