椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习).doc
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椭圆焦点三角形面积公式的应用
性质1（选填题课直接用，大题需论证）:
y
F1OF2x
P
P
在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.
证明：
记，由椭圆的第一定义得
在△中，由余弦定理得：
配方得：
即
由任意三角形的面积公式得：
.
同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.
典型例题
例1若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求
△的面积.
例2已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（）
A.B.C.D.
例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）
A.B.C.D.或
答案：
例1若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求
△的面积.
解法一：
在椭圆中，而记
点P在椭圆上，
由椭圆的第一定义得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
从而
解法二：
在椭圆中，，而
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（）
A.B.C.D.
解：
设，则，
故选答案A.
例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）
A.B.C.D.或
解：
若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又
，故答案选D.
金指点睛
1（略）.椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（）
A.20B.22C.28D.24
2.椭圆的左右焦点为、，P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（）
A.0B.1C.3D.6
3.椭圆的左右焦点为、，P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（）
A.0B.2C.4D.
4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（）
A．1 B． C． D．
5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.
6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.
答案
1.解：
，.
故答案选D.
2.解：
设，，，.
故答案选A.
3.解：
，设，，
当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，，
.
故答案选D.
4．解：
，，，
又，
，从而.
故答案选C.
5.解：
设，则.，
又，
，即.
解得：
.
所求椭圆的标准方程为或.
6．解：
设，.
，.
又，即.
或.
当时，，这时椭圆的标准方程为；
当时，，这时椭圆的标准方程为；
但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为.
性质二：
有关角的问题
已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，
若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
问题1.椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_______。
问题2：
椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。
变式
1.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）（09江西）
A．B．C．D．
问题1.椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_______。
方法1：
设，则当时，点的轨迹方程为，由此可得的横坐标为
方法2：
利用性质一
方法3：
【分析】令|F1P|=m、|PF2|=6-m，
RtΔF1PF2中，由勾股定理可得m2+（6-m）2=20
问题2：
椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。
问题分解：
方法1：
设，则当时，点的轨迹方程为，
由此可得的横坐标为，所以点P横坐标的取值范围是
方法2：
利用性质一
问题2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
解题的关键在于点动，发现的大小与点P的位置有关，
究竟有何联系，成了大家探索的焦点。
变式
1.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）（09江西）
A．B．C．D．
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